Question

【题目】已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y轴相交于点C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．

（1）填空：b＝　 　，c＝　 　；

（2）在图1中，若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，求四边形ACMB面积的最大值；

（3）在图2中，将直线BC沿x轴翻折交y轴于点N，过点B的直线与抛物线相交于点D．若∠NBD＝∠OCA，请直接写出点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）；（3）点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，12）．

【解析】

（1）由A（1，0）与OC＝3OA求点C坐标，把点A、C代入用待定系数法求抛物线解析式，即求得b、c的值．

（2）连接BC，把四边形ACMB分成△ABC与△BCM．求点B坐标，进而求△ABC面积和直线BC解析式．设点M横坐标为m，过点M作MF⊥x轴于点F，交BC于点E，用m表示EM的长．把△BCM分成△BEM与△CEM求面积和，得到关于m的二次函数关系式，配方即得到△BCM面积最大值，进而求得四边形ACMB面积的最大值．

（3）由OC＝3OA求得tan∠OCA的值，求点N坐标和BN的长．过点N作GN⊥BN，根据∠NBD＝∠OCA可得tan∠NBD＝，即求得NG的长，进而用勾股定理求得BN的长．设点G坐标为（s，t），用s、t表示NG2，BG2的值，即列得关于s、t的方程组，求解得两个满足条件的点G．求直线BG解析式，与抛物线解析式联立方程组即求得点D坐标．

解：（1）∵A（﹣1，0）

∴OA＝1

∴OC＝3OA＝3

∴C（0，﹣3）

∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C

∴ 解得：

故答案为：﹣2，﹣3．

（2）如图1，连接BC，过点M作MF⊥x轴于点F，交BC于点E

∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3

∴当x2﹣2x﹣3＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3

∴B（3，0），AB＝3﹣（﹣1）＝4

∴S△ABC＝ABOC＝×4×3＝6

设直线BC解析式为：y＝kx﹣3

把点B代入得：3k﹣3＝0，解得：k＝1

∴直线BC：y＝x﹣3

∵点M为抛物线上第四象限内的点

∴设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3）

∴E（m，m﹣3）

∴EM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+

∴S△BCM＝S△BEM+S△CEM

＝EMBF+EMOF

＝EM（BF+OF）

＝EMOB

＝[﹣（m﹣）2+]

＝﹣（m﹣）2+

∴S四边形ACMB＝S△ABC+S△BCM＝6﹣（m﹣）2+＝﹣（m﹣）2+

∴四边形ACMB面积的最大值为．

（3）过点N作NG⊥BN，交直线BD于点G

∴∠BNG＝∠AOC＝90°

∵OC＝3OA

∴Rt△AOC中，tan∠OCA＝

∵∠NBD＝∠OCA

∴tan∠NBD＝tan∠OCA＝

∴Rt△BNG中，tan∠NBD＝

∵B（3，0），C（0，﹣3），将直线BC沿x轴翻折交y轴于点N

∴N（0，3）

∴BN＝

∴NG＝BN＝

∴BG＝

设点G坐标为（s，t）

∴NG2＝s2+（t﹣3）2，BG2＝（3﹣s）2+t2

∴解得：,

∴点G坐标为（﹣1，2）或（1，4）

①G（﹣1，2），设直线BG解析式为y＝ax+g

∴ 解得：

∴直线BG：y＝﹣x+

∵ 解得：,（即点B）

∴D（﹣，）

②G（1，4），设设直线BG解析式为y＝px+q

∴ 解得：

∴直线BG：y＝-2x+6

∵ 解得：,（即点B）

∴D （﹣3，12）

综上所述，若∠NBD＝∠OCA/span>，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，12）．