Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点．连结CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP：PB=1：2．且PA⊥BF．
①求证：PA=

1

2

PB；  ②求对角线BD的长．

Answer 1

考点：菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDC=∠BDA，然后利用“边角边”证明△APD和△CPD全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）①求出△CDP和△FBP相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CP=

1

2

PF，CD=

1

2

BF，从而得到AP=

1

2

PF，然后求出AB=AF，根据根据等腰三角形三线合一的性质求出PB=PF，然后证明即可；
②解直角三角形求出PB，再求出PD，然后根据BD=BP+PD计算即可．

解答：（1）证明：在菱形ABCD中，AD=CD，∠BDC=∠BDA，
在△APD和△CPD中，

AD=CD ∠BDC=∠BDA DP=DP

，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴∠DCP=∠DAP；

（2）证明：①∵AB∥CD，
∴△CDP∽△FBP，
∴

CD

BF

=

CP

PF

=

DP

PB

=

1

2

，
∴CP=

1

2

PF，CD=

1

2

BF，DP=

1

2

PB，
∵△APD≌△CPD，
∴CP=AP，
∴PA=

1

2

PF，
∵AB=CD，
∴AB=AF，
∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
∴PA=

1

2

PB；
②解：∵PA=

1

2

PB，
∴∠F=30°，
∴PB=PF=2÷

3

2

=

4 3

3

，
∴DP=

1

2

PB=

1

2

×

4 3

3

=

2 3

3

，
∴BD=BP+PD=

4 3

3

+

2 3

3

=2

3

．

点评：本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记各性质是解题的关键．