Question

【题目】如图1，菱形ABCD中，CH⊥AB，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．

（1）求DM的长；

（2）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）DM=（2）S=-t+或S=t-.（3）存在，1.

【解析】

试题分析：（1）由菱形的性质得到条件，判断出△AMH∽△CDM，由勾股定理计算出DH，即可；

（2）由△BCM≌△DCM计算出BM=DM，分两种情况计算即可；

（3）由菱形的性质判断出△ADM≌△ABM，再判断出△BMP是等腰三角形，即可．

试题解析：（1）在Rt△ADH中，AD=5，AH=3，

∴DH=4，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥DC，

∴∠BAC=∠DCA，

DH⊥AB，

∴△AMH∽△CDM，

∴

∴

∵DH=4，

∴DM=

（2）在△BCM和△DCM中，

∴△BCM≌△DCM，

∴BM=DM=，∠CDM=∠CBM=90°

①当P在AB之间时，S=（5-2t）×=-t+．

②当P在BC之间时，S=（2t-5）×=t-.

（3）存在，

∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，

∴∠ADM+∠BCD=90°，

∵∠MPB+∠BCD=90°，

∴∠MPB=∠ADM，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAM=∠BAM，

∵AM=AM，

∴△ADM≌△ABM，

∴∠ADM=∠ABM，

∴∠MPB=∠ABM，

∵MH⊥AB，

∴PH=BH=，

∴BP=2BH=3，

∵AB=5，

∴AP=2，

∴t==1．