Question

如图1的平面直角坐标系中，等腰直角三角形A₀B₁A₁的斜边A₀A₁落在y轴的正半轴上，A₀A₁=2，点A₀与原点O重合．二次函数y=ax²的图象恰好经过B₁．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在y轴的正半轴依次取点A₂，A₃，A₄，…，A_n，使得以A₁A₂，A₂A₃，A₃A₄，…，A_n-1A_n，为斜边的等腰直角三角形△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，△A₃B₄A₄，…，△A_n-1B_nA_n的顶点B₂，B₃，B₄，…，B_n分别落在二次函数y=ax²的图象上（如图2）．完成下列填空：A₁A₂=

 

，A₂A₃=

 

；
（3）根据（2）观察分析得到的规律，试写出A_n-1A_n的长：A_n-1A_n=

 

（用n的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）求抛物线的解析式关键是求出B1的坐标，可过B₁作y轴的垂线设垂足为C，根据等腰梯形的性质不难得出B₁C=OC=

1

2

OA₁=1，因此B₁（1，1），将其坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）已知A₁的坐为（0，2），易知直线A₀B₁的解析式为y=x，因此A₁B₂的解析式为y=x+2，联立抛物线的解析式可求出B₂（2，4），由于A₁B₂⊥A₂B₂，因此直线A₂B₂的解析式可设为y=-x+h，易求得h=6，即A₂的坐标为（0，6），因此A₁A₂=4，同理可求得A₂A₃=6
（3）根据（2）的结果A₀A₁=2，A₁A₂=4，A₂A₃=6，由此不难得出A_n-1A_n=2n．

解答：解：（1）过B₁作B₁C⊥A₀A₁于C．
∵A₁B₁=A₀B₁，
∴A₀C=A₁C=

1

2

A₀A₁=

1

2

×2=1
∵∠A₁B₁A₀=90°
∴B₁C=

1

2

A₀A₁=1
∴B₁的坐标为（1，1）
∵二次函数y=ax²的图象经过点B₁
∴1=a•1²
∴a=1
∴二次函数的解析式为y=x²

（2）A₁A₂=4，A₂A₃=6；

（3）A_n-1A_n=2n．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定以及规律性问题等知识，通常先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．