Question

9．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得6²+x²=（18-x）²，BE=10，得到OB=$\frac{1}{2}$BE=5，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得6²+（8-y）²=y²，解得y=$\frac{25}{4}$，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得PO=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，由PQ=2PO即可求解．

解答 （1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴QB=QE，OB=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEO=∠QBO}\\{OB=OE}\\{∠POE=∠QOB}\end{array}\right.$，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB=QE，
∴四边形BPEQ是菱形；

（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，
∴AE+BE=2OF+2OB=18，
设AE=x，则BE=18-x，
在Rt△ABE中，6²+x²=（18-x）²，
解得x=8，
BE=18-x=10，
∴OB=$\frac{1}{2}$BE=5，
设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，6²+（8-y）²=y²，解得y=$\frac{25}{4}$，
在Rt△BOP中，PO=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴PQ=2PO=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．