Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形．AE是⊙O的直径，交BC于点G．过点A作AF⊥BC，AF分别与BC、⊙O交于点D、F，连接BE、CF．

（1）求证：∠BAE＝∠CAF；

（2）若AB＝8，AC＝6，AG＝5，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）由圆周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAF =90°，由圆周角定理得出∠BEA=∠ACD，即可得出结论；

（2）先证明∠ABC=∠AFC，∠BAE＝∠CAF得△ABG∽△AFC，得到即可得到答案．

解（1）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAF =90°，
又∵∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAF；

（2）∵∠ABC与∠AFC是的圆周角

∴∠ABC=∠AFC

∵∠BAE＝∠CAF

∴△ABG∽△AFC

∴

∵AB＝8，AC＝6，AG＝5

∴ 得