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    11．如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2-2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．
    （1）直接写出点A，C，D的坐标；
    （2）当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；
    （3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．

    分析 （1）直接将点A的坐标代入y1=ax2-2ax+1得出m的值，因为由图象可知点A在第一象限，所以m≠0，则m=2，写出A，C的坐标，点D与点A关于点C对称，由此写出点D的坐标；
    （2）根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且平分得：BC=CD，在直角△BMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式，由旋转的性质得出抛物线y2的解析式；
    （3）分两种情况讨论：①当0≤t≤1时，S=S△GHD=S△PDH+S△PDG，作辅助线构建直角三角形，求出PG和PH，利用面积公式计算；②当1＜t≤2时，S=S△HMD′-S△GE′F-S△GE′M，利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论．

    解答 解：（1）由题意得：
    将A（m，1）代入y1=ax2-2ax+1得：am2-2am+1=1，
    解得：m1=2，m2=0（舍），
    ∴A（2，1）、C（0，1）、D（-2，1）；
    （2）如图1，由（1）知：B（1，1-a），过点B作BM⊥y轴，
    若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，
    ∴BM2+CM2=BC2=CD2，
    ∴12+（-a）2=22，
    ∴a=$±\sqrt{3}$，
    ∵y1抛物线开口向下，
    ∴a=-$\sqrt{3}$，
    ∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（-1，1-$\sqrt{3}$），
    ∴设y2=a（x+1）2+1-$\sqrt{3}$，则a=$\sqrt{3}$，
    ∴y2=$\sqrt{3}$x2+2$\sqrt{3}$x+1；
    （3）如图1，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，
    得BQ=$\sqrt{3}$，DQ=3，则BD=2$\sqrt{3}$，
    ∴∠BDQ=30°，
    ∴PH=$\frac{\sqrt{3}}{3}t$，PG=$\sqrt{3}$t，
    ∴S=$\frac{1}{2}$（PG+PH）×DP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t2，
    如图2，当1＜t≤2时，
    因为矩形ABDE沿直线l折叠，所以延长DE和D′E′交直线l于同一点，设这一点为M，
    D（-2，1），E（-1，1-$\sqrt{3}$），
    ∴DE=$\sqrt{（-2+1）^{2}+（1-1+\sqrt{3}）^{2}}$=2，
    ∴EM=DM-DE=2t-2，
    ∵∠EMG=30°，
    ∴EG=E′G=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（t-1），
    在Rt△FEM中，∠EMF=2×30°=60°，
    ∴∠EFM=30°，
    ∴FM=2EM=4t-4，
    ∴E′F=FM-E′M=FM-EM=4t-4-（2t-2）=2t-2=2（t-1），
    S△GE′F=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（t-1）2，
    S=S△HMD′-S△GE′F-S△GE′M=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t×2t-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（t-1）2-$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（t-1）×（2t-2），
    =-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$${t}^{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}t-\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
    综上所述：S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t2（0≤t≤1）或S=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$${t}^{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}t-\frac{4\sqrt{3}}{3}$（1＜t≤2）．

    点评 本题考查了二次函数的性质，旋转的性质和矩形对角线的性质，以及三角函数及特殊角的应用，综合性较强；善于从已知中挖掘隐藏条件是本题的关键：如此题可以计算矩形的边长及对角线与边的夹角，得出30°，以此为突破口，将需要的边长用t表示，得出函数关系式；另外本题还运用了分类讨论的思想，这在二次函数中运用较多，应熟练掌握．

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    （2）如图2，若OB=2，求F的坐标．
    （3）若OB=n，请直接写出点F的坐标．

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