Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，以AB为斜边作等腰直角△ABC，使点C落在第一象限，过点C作CD⊥AB于点D，作CE⊥x轴于点E，连接ED并延长交y轴于点F．

（1）如图（1），点P为线段EF上一点，点Q为x轴上一点，求AP+PQ的最小值．

（2）将直线l进行平移，记平移后的直线为l1，若直线l1与直线AC相交于点M，与y轴相交于点N，是否存在这样的点M、点N，使得△CMN为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AP+PQ的最小值为4；（2）存在，M点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)．

【解析】

（1）由直线解析式易求AB两点坐标，利用等腰直角△ABC构造K字形全等易得OE＝CE＝4，C点坐标为（4，4）DB＝∠CEB＝90，可知B、C、D、E四点共圆，由等腰直角△ABC可知∠CBD＝45，同弧所对圆周角相等可知∠CED＝45，所以∠OEF＝45，CE、OE是关于EF对称，作PH⊥CE于H，作PG⊥OE于Q，AK⊥EC于K．把AP+PQ的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．

（2）由直线l与直线AC成45可知∠AMN＝45，由直线AC解析式可设M点坐标为（x，），N在y轴上，可设N（0，y）构造K字形全等即可求出M点坐标．

解：（1）过A点作AK⊥CE，

在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，

∵CE⊥x轴，

∴∠ACK+∠ECB＝90，∠ECB+∠CBE＝90，

∴∠ACK＝∠CBE

在△AKC和△CEB中，

，

△AKC≌△CEB（AAS）

∴AK＝CE，CK＝BE，

∵四边形AOEK是矩形，

∴AO＝EK＝BE，

由直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，可知A 点坐标为（0，2），B（6，0）

∴E点坐标为（4，0），C点坐标为（4，4），

∵∠CDB＝∠CEB＝90，

∴B、C、D、E四点共圆，

∵，∠CBA＝45，

∴∠CED＝45，

∴FE平分∠CEO，

过P点作PH⊥CE于H，作PG⊥OE于G，过A点作AK⊥EC于K．

∴PH＝PQ，

∵PA+PQ＝PA+PH≥AK＝OE，

∴OE＝4，

∴AP+PQ≥4，

∴AP+PQ的最小值为4．

（2）∵A 点坐标为（0，2），C点坐标为（4，4），

设直线AC解析式为：y＝kx+b

把（0，2），（4，4）代入得

解得

∴直线AC解析式为：y＝，

设M点坐标为（x，），N坐标为（0，y）．

∵MN∥AB，∠CAB＝45，

∴∠CMN＝45，

△CMN为等腰直角三角形有两种情况：

Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90，MN＝CN．

同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS＝NR．

∴，解得：，

∴M点坐标为（﹣12，﹣4）

Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90，MN＝CN．

过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．

∴，解得：，

∴M点坐标为（12，8）

综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．