Question

8．已知点A（m，n）在反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$上．
（1）若m=$\frac{1}{n}$，点M（0，3）且S_△AOM=6，求点A的坐标；
（2）若m=n=2，点A到直线y₂=-x+b的距离为$\sqrt{2}$，点B（p，q）在y₂=-x+b上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，交y₁于点D．当0＜p＜q时，求p•BD的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求出k，再根据三角形面积公式可以确定点A横坐标，由此即可解决问题．
（2）如图，首先判断直线y₂在点A上方，点B在线段EF上运动（不包括点E），构建二次函数即可解决问题．

解答 解：（1）∵点A（m，n）在反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$上，且m=$\frac{1}{n}$，
∴k=mn=1，
∴y=$\frac{1}{x}$，
∵点M（0，3），
∴OM=3，
∵S_△AOM=6，
∴A的横坐标为±4，
∴m=±4，
∵n=$\frac{1}{m}$，
∴A（4，$\frac{1}{4}$）或（-4，-$\frac{1}{4}$）；
（2）如图，直线OA与y₂交于点E，
∵AE=$\sqrt{2}$，A（2，2），
∴K=4，y=$\frac{4}{x}$，
∴点E坐标（3，3），
∵点B（p，q）在y₂=-x+b上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，交y₁于点D．0＜p＜q，
∴点B在点E上方，点F下方，
∴p•BD=p（-p+6-$\frac{4}{p}$）=-p²+6p-4=-（p-3）²+5，
∴p•BD的最大值为5，当点B与点F重合时取得最小值0，
∵0＜p＜q，
∴p≠3，
∴0≤p•BD＜5．

点评 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，灵活运用待定系数法是解题的关键，第二个问题需要正确画出图形，判断点B的位置是关键，属于中考常考题型．