Question

【题目】当k值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数”.

(1)如图，若k>0，这两个函数图象的交点分别为A，B，求点A，B的坐标（用k表示）；

(2)若k=1，点P是函数在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），设点P的坐标为（），其中m>0且m≠2.作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则△PCD是等腰三角形，请说明理由；

(3)在(2)的基础上，是否存在点P使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）点A坐标为（-k，-1），点B坐标（k，1）；（2）△PCD是等腰三角形；，理由见解析；（3）不存在，理由见解析．

【解析】

（1）联立两个函数解析式即可；

（2）先求出点C和点D的坐标，然后根据两点距离公式得到PC=PD即可；

（3）过点P作PH⊥CD于H，根据等腰直角三角形的性质可得CD=2PH，可求m的值；然后再点P不与B重合即可解答．

解：（1）∵两个函数图象的交点分别为点A和点B，

∴，解得：或

∴点A坐标为（-k，-1），点B坐标（k，1）；

（2）△PCD是等腰三角形，理由如下：

∵k=1

∴点A和点B的坐标为（-1，-1）和（1，1），

设点P的坐标为（m，）

∴直线PA解析式为：

∵当y=0时，x=m-1，

∴点C的坐标为（m-1，0）

同理可求直线PB解析式为：

∵当y=0时，x=m+1，

∴点D的坐标为（m+1，0）

∴，

∴PC=PD

∴△PCD是等腰三角形；

（3）如图：过点P作PH⊥CD于H

∵△PCD直角三角形，PH⊥CD，

∴CD=2PH，

∴m+1-（m-1）=2×，解得m=1

∴点P的坐标为（1，1），

∵点B（1，1）与点函数在第一象限内的图象上的一个动点P不重合

∴不存在点P使△PCD为直角三角形．