Question

【题目】已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD．

（1）求证：；

（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G．如果∠BAF =∠DBF，求证：．

Answer 1

【答案】（1）参见解析；（2）参见解析．

【解析】

试题分析：（1）利用已知条件和同角的余角相等得出∠ACD=∠CBD．再根据∠ADC=∠BCD=90．因为两角对应相等，两个三角形相似，所以△ACD∽△DBC．相似三角形对应边成比例，所以，从而得出结论；（2）利用平行线的性质和等量代换得出∠ADB=∠BAF．从而判定△ABG∽△DBA．得出，即，又因为，得出，代入前面的式子中即可得出结论．

试题解析：（1）∵AD//BC，∠BCD=90，∴∠ADC=∠BCD=90．又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90．∴∠ACD=∠CBD．∴△ACD∽△DBC．∴，即；（2）∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBF．∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF．∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA．∴．两边同时平方得：．又由于△ABG∽△DBA，∴．

∴．∴．