分析 (1)连接PC,通过证明△PCD≌△PBE,得出PD=PE;
(2)PM,PN分别与边AC、CB的延长线相交于点D、E.PD=PE还成立,连接PC,通过证明△PCD≌△PBE,得出PD=PE;
(3)分三种情况探讨:①AD=AP=$\sqrt{2}$;②DA=DP=1;③PA=PD=$\sqrt{2}$;得出答案即可.
解答 (1)证明:如图1,
连接PC,
∵∠C=90°,AC=BC,P是AB中点,
∴∠A=∠B=∠PCA=45°,AP=PB=PC,
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE,
∴∠DPC=∠BPE.
在△DPC和△EPB中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠B}\\{PC=PB}\\{∠DPC=∠EPB}\end{array}\right.$,
∴△DPC≌△EPB(ASA),
∴PD=PE.
(2)PD=PE还成立.
理由:如图2,
连接PC,
∵∠C=90°,AC=BC,P是AB中点,
∴∠A=∠PBC=∠PCA=45°,AP=PB=PC,
∴∠PCD=∠PBE,
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE,
∴∠DPC=∠BPE.
在△DPC和△EPB中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠PBE}\\{PC=PB}\\{∠DPC=∠BPE}\end{array}\right.$,
∴△DPC≌△EPB(ASA),
∴PD=PE.
(3)分三种情况讨论如下:
①AD=AP=$\sqrt{2}$,CE=$\sqrt{2}$;
②DA=DP=1时,CE=1;
③PA=PD=$\sqrt{2}$时,点B与点E重合,即CE=2.
点评 本题考查了几何变换综合题,掌握旋转的性质,等腰三角形的性质与判定,全等三角的判定与性质是解决问题的关键,注意分类讨论思想的渗透.
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