Question

10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE，
①求证：△ACD≌△BCE；
②求∠AEB的度数．
（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①先证出∠ACD=∠BCE，由SAS证明△ACD≌△BCE即可；②根据全等三角形证出∠ADC=∠BEC，求出∠ADC=120°，得出∠BEC=120°，从而证出∠AEB=60°；
（2）证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，最后证出DM=ME=CM即可．

解答 （1）①证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠CDB=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．

②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．

（2）解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由如下：
如图2所示：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．

点评 此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．