Question

如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．

【小题1】求抛物线的解析式及顶点D的坐标
【小题2】判断△ABC的形状，证明你的结论；
【小题3】点M(m，0)是x轴上的一个动点， 当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

【小题1】∵点A（-1，0）在抛物线y=x² + bx-2上，
∴× (-1 )² + b× (-1) –2 = 0，解得b =………………………………….（1分）
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2. y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,
∴顶点D的坐标为 (, -). ………………………………….（4分）
【小题2】当x = 0时y =" -2,      " ∴C（0，-2），OC = 2。
当y = 0时， x²-x-2 = 0，     ∴x₁ =" -1," x₂ =" 4,    " ∴B (4,0)
∴OA =" 1,   " OB =" 4,   " AB = 5.
∵AB² =" 25,   " AC² = OA² + OC² =" 5,   " BC² = OC² + OB² = 20,
∴AC² +BC² = AB².               
∴△ABC是直角三角形. ………………………………….（8分）
【小题3】作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。

设直线C′D的解析式为y =" kx" + n ,
则，解得n =" 2,"  .
∴ .
∴当y = 0时， ，
 .    ∴.………………………………….（11分）

解析