Question

15．我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形．那么，任意画一个正方形（如图），以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理得到A₁D₁∥BD，A₁D₁=$\frac{1}{2}$BD，B₁C₁∥BD，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BD，A₁B₁∥AC，A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC，根据正方形的性质得到AC=BD，AC⊥BD，根据平行四边形、菱形、正方形的判定定理推理即可．

解答 解：以正方形四边的中点为顶点可以组成一个正方形，证明如下：
连接AC、BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∵A₁、D₁分别为AB、AD的中点，
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=$\frac{1}{2}$BD，
同理B₁C₁∥BD，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BD，A₁B₁∥AC，A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC，
∴A₁D₁=B₁C₁，A₁D₁∥B₁C₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形，
∵AC=BD，∴A₁B₁=B₁C₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是菱形，
∵AC⊥BD，A₁D₁∥BD，
∴A₁D₁⊥AC，又A₁B₁∥AC，
∴A₁D₁⊥A₁B₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是正方形．

点评 本题考查的是中点四边形的知识，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．