Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，动点M、N分别从D、B同时出发，都以1cm/秒的速度运动，点M沿DA向点终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知运动的时间为t秒（0＜t＜3）．

（1）当t＝1秒时，求出PN的长；

（2）若四边形CDMP的面积为s，试求s与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

（4）在点M、N运动过程中，△MPA能否成为一个等腰三角形？若能，试求出所有t的可能值；若不能，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，；（4）能，当t＝1或t＝ 或t＝时，△MPA是等腰三角形.

【解析】

(1)由t＝1知BN＝1、CN＝BC﹣BN＝2，证△PNC∽△ABC得，据此可得答案；

(2)延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由△PNC∽△ABC得，据此得出PN＝4﹣t、PQ＝t，根据S四边形CDMP＝S△ACD﹣S△AMP可得；

(3)求出矩形ABCD的面积，然后由题意可得关于t的方程，解方程即可求得答案；

(4)本题要分三种情况：①MP＝PA，那么AQ＝BN＝AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA＝MP，在直角三角形MQP中，MQ＝MA﹣BN，PQ＝AB﹣PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA＝PA，不难得出AP＝BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．

(1)当t＝1时，BN＝1、CN＝BC﹣BN＝2，

∵PN⊥BC，

∴∠PNC＝∠B＝90°，

∴PN∥AB，

∴△PNC∽△ABC，

∴，即，

∴PN＝；

(2)如图，延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，

由题意知，DM＝BN＝t，AM＝CN＝3﹣t，

∵PN∥AB，

∴△PNC∽△ABC，

∴，即，

解得：PN＝(3﹣t)＝4﹣t，

∵PQ⊥AD，

∴∠QAB＝∠B＝∠NQA＝90°，

∴四边形ABNQ是矩形，

则AB＝QN＝4，

∴PQ＝QN﹣PN＝4﹣(4﹣t)＝t，

∴四边形CDMP的面积s＝×3×4﹣×(3﹣t)×t＝t2﹣2t+6；

(3)∵S矩形ABCD＝3×4＝12，

∴，

解得：t＝，

所以t＝时四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8；

(4)△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：

①若PM＝PA，

∵PQ⊥MA，

∴四边形ABNQ是矩形，

∴QA＝NB＝t，

∴MQ＝QA＝t，

又∵DM+MQ+QA＝AD

∴3t＝3，即t＝1

②若MP＝MA，则MQ＝3﹣2t，PQ＝t，MP＝MA＝3﹣t，

在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2＝MQ2+PQ2

∴(3﹣t)2＝(3﹣2t)2+(t)2，

解得：t＝(t＝0不合题意，舍去)；

③若AP＝AM，

由题意可得：AP＝t，AM＝3﹣t

∴t＝3﹣t，

解得：t＝，

综上所述，当t＝1或t＝或t＝时，△MPA是等腰三角形．