Question

14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，BD=2，CD=8．
（1）求证：∠BAC=90°；
（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，请求出BP的长．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB²，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC²，而BC=CD+BD=10，易求AC²+AB²=100=BC²，从而可知△ABC是直角三角形．
（2）分三种情况：①当BP=AB时；②当BP=AP时；③当AP=AB时；分别求出BP的长即可．

解答 （11）证明：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，AD=4，BD=2，
∴AB²=AD²+BD²=20，
又∵AD⊥BC，CD=8，AD=4，
∴AC²=CD²+AD²=80，
∵BC=CD+BD=10，
∴BC²=100，
∴AC²+AB²=100=BC²，
∴∠BAC=90°，△ABC是直角三角形．
（2）解：分三种情况：
①当BP=AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BP=AB=2$\sqrt{5}$；
②当BP=AP时，P我BC的中点，
∴BP=$\frac{1}{2}$AB=5；
③当AP=AB是，BP=2BD=4；
综上所述：BP的长为2$\sqrt{5}$或5或4．

点评 本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．