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19.如图,AC为⊙O的直径,AB=BD,BD交AC于F,BE∥AD交AC的延长线于E点
(1)求证:BE为⊙O的切线;
(2)若AF=4CF,求tan∠E.

分析 (1)连接CD、OD、BO,延长BO交AD于点G,证△ABO≌△DBO得∠1=∠ABO,从而得BG⊥AD,即∠1+∠2=90°,根据∠2=∠3知∠3+∠1=90°,得证;
(2)设CF=x,则AF=4x、OC=OB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$x、OF=OC-CF=$\frac{3}{2}$x,证△CDF∽△OBF得$\frac{CD}{OB}$=$\frac{CF}{OF}$,从而求得CD=$\frac{5}{3}$x、AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$x,由tanE=tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$可得答案.

解答 解:(1)如图,连接CD、OD、BO,延长BO交AD于点G,

在△ABO和△DBO中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{BO=BO}\\{AO=DO}\end{array}\right.$,
∴△ABO≌△DBO(SSS),
∴∠1=∠ABO,
∴BG⊥AD,
∴∠1+∠2=90°,
∵BE∥AD,
∴∠2=∠3,
∴∠3+∠1=90°,即OB⊥BE,
∴BE为⊙O的切线;

(2)设CF=x,则AF=4x,
∴AC=5x,OC=OB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$x,
∴OF=OC-CF=$\frac{5}{2}$x-x=$\frac{3}{2}$x,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴CD∥BG,
∴△CDF∽△OBF,
∴$\frac{CD}{OB}$=$\frac{CF}{OF}$,即$\frac{CD}{\frac{5}{2}x}$=$\frac{x}{\frac{3}{2}x}$,
则CD=$\frac{5}{3}$x,
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{(5x)^{2}-(\frac{5}{3}x)^{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$x,
∵BE∥AD,
∴tanE=tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\frac{5}{3}x}{\frac{10\sqrt{2}}{3}x}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

点评 本题考查了切线的判定、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

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