Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D在AB上，AD=2cm．点E、F同时从点D出发，点E沿DA以1cm每秒的速度向点A运动，到达A点后立即以原速度沿AB向点B匀速运动；点F沿DB以2cm每秒的速度向点B匀速运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．
（1）当点E由D向A运动过程中，请求出点H恰好落在AC边上时，t的值；  
（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式，并求出对应t的取值范围；  
（3）在运动过程中，设AC的中点为N，当t≥2时，是否存在这样的t，使得△NEF为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知：△AHE∽△ACB，利用相似三角形的性质可知：$\frac{HE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，从而可求得t的值；
（2）①当0＜t≤$\frac{2}{5}$时，重合部分的面积等于正方形的面积；②当$\frac{2}{5}$＜t≤1时，S=S_{正方形EFGH}-S_△MNH；③如图4，当1＜t≤2时，S=S_△ANF-S_△AEM；
（3）如图5所示：过点N作NG⊥AB，垂足为G．根据勾股定理求得EN、FN，EF的长用函数t的代数式表示，然后分为①NE=NF；②EN=EF时；③当NF=EF三种情况计算即可．

解答 解：（1）当点E由D向A运动过程中，即当0＜t＜2时，如图1，

HE=3t，AE=2-t
∵△AHE∽△ACB，
∴$\frac{HE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，即：$\frac{3t}{6}$=$\frac{2-t}{8}$，解得t=$\frac{2}{5}$；
（2）①当0＜t≤$\frac{2}{5}$时，S与t的函数关系式是：S=3t×3t=9t²；
②如图2，当点G落在AC上时，GF=3t，AF=2+2t

∵△AGF∽△ACB，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{GF}{BC}$，即$\frac{2+2t}{8}$=$\frac{3t}{6}$，解得t=1，
∴如图3，当$\frac{2}{5}$＜t≤1时，

S=S_{正方形EFGH}-S_△MNH=9t²-$\frac{1}{2}$HN•HM=9t²-$\frac{1}{2}$[3t-（2-t）×$\frac{3}{4}$]×$\frac{4}{3}$×[3t-（2-t）×$\frac{3}{4}$]=-$\frac{3}{8}$t²+$\frac{15}{2}$t-$\frac{3}{2}$，
③如图4，当1＜t≤2时，

AF=2t+2，FN=$\frac{3}{4}$（2t+2）=$\frac{3}{2}$（t+1），AE=2t+2-3t=2-t，ME=$\frac{3}{4}$（2-t），
S=S_△ANF-S_△AEM=$\frac{1}{2}$AF•FN-$\frac{1}{2}$AE•EM=$\frac{1}{2}$×（2t+2）×$\frac{3}{2}$（t+1）-$\frac{1}{2}$×（2-t）×$\frac{3}{4}$（2-t）=$\frac{9}{8}$t²-$\frac{9}{2}$t．
（3）当t≥2时，存在使△EGB为等腰三角形的t的值．
如图5所示：过点N作NG⊥AB，垂足为G．

①当NE=NF时．
∵NE=NF，NG⊥EF，
∴EG=FG．
∵∠A=∠A，∠C=∠AGN，
∴△AGN∽△ACB．
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AG}{AC}$，即$\frac{4}{10}=\frac{AG}{8}$．
解得：AG=3.2．
∵AF=2+2t，
∴GF=2+2t-3.2=2t-1.2．
∴AE=AG-GE=3.2-（2t-1.2）=4.4-2t．
又∵AE=t-2，
∴4.4-2t=t-2．
解得：t=$\frac{32}{15}$．
②当EN=EF时，
由①可知：△AGN∽△ACB．
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{GN}{BC}$，即$\frac{4}{10}=\frac{GN}{6}$．
解得：NG=2.4．
EG=AG-AE=3.2-（t-2）=5.2-t，
在Rt△EGN中，EN²=EG²+NG²，即EN²=（5.2-t）²+2.4²，
EF=AF-AE=2+2t-（t-2）=4-t．
∴（5.2-t）²+2.4²=（4-t）²．
解得：t=7（舍去），
③当NF=EF时，
由②知：NG=2.4，
FG=AF-AG=2+2t-3.2=2t-1.2．
NF²=NG²+GF²=（2t-1.2）²+2.4²．
EF²=（4-t）²．
∴（2t-1.2）²+2.4²=（4-t）²．
解得：${t}_{1}=\frac{-3.2+\sqrt{125.84}}{6}$，${t}_{2}=\frac{-3.2-\sqrt{125.84}}{6}$（舍去），
∵t₁=$\frac{-3.2+\sqrt{125.84}}{6}$$＜\frac{-3.2+12}{6}＜2$（舍去）．
综上所述，当t=$\frac{32}{15}$时，EN=FN，此时△EFN为等腰三角形．

点评 此题主要考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、等腰三角形的性质、正方形及勾股定理的性质，分类思想的运用，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．