如图1.抛物线C:y=x2经过变化可得到抛物线C1:y1=a1x(x-b1).C1与x轴的正半轴交与点A1.且其对称轴分别交抛物线C.C1于点B1.D1.此时四边形OB1A1D1恰为正方形,按上述类似方法.如图2.抛物线C1:y1=a1x(x-b1)经过变换可得到抛物线C2:y2=a2x(x-b2).C2与x轴的正半轴交与点A2.且其对称轴分别交抛物线C1.C2于点B2.D2.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

19．如图1，抛物线C：y=x²经过变化可得到抛物线C₁：y₁=a₁x（x-b₁），C₁与x轴的正半轴交与点A₁，且其对称轴分别交抛物线C，C₁于点B₁，D₁，此时四边形OB₁A₁D₁恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线C₁：y₁=a₁x（x-b₁）经过变换可得到抛物线C₂：y₂=a₂x（x-b₂），C₂与x轴的正半轴交与点A₂，且其对称轴分别交抛物线C₁，C₂于点B₂，D₂，此时四边形OB₂A₂D₂也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线C₃：y₃=a₃x（x-b₃）与正方形OB₃A₃D₃．请探究以下问题：
（1）填空：a₁=1，b₁=2；
（2）求出C₂与C₃的解析式；
（3）按上述类似方法，可得到抛物线C_n：y_n=a_nx（x-b_n）与正方形OB_nA_nD_n（n≥1）．
①请用含n的代数式直接表示出C_n的解析式；
②当x取任意不为0的实数时，试比较y₂₀₁₅与y₂₀₁₆的函数值的大小并说明理由．

分析（1）求与x轴交点A₁坐标，根据正方形对角线性质表示出B₁的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b₁的值，写出D₁的坐标，代入y₁的解析式中可求得a₁的值；
（2）求与x轴交点A₂坐标，根据正方形对角线性质表示出B₂的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b₂的值，写出D₂的坐标，代入y₂的解析式中可求得a₂的值，写出抛物线C₂的解析式；再利用相同的方法求抛物线C₃的解析式；
（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a_n=a₁=1，由B₁坐标（1，1）、B₂坐标（3，3）、B₃坐标（7，7）得B_n坐标（2ⁿ-1，2ⁿ-1），则b_n=2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-2（n≥1），写出抛物线C_n解析式．
②先求抛物线C₂₀₁₅和抛物线C₂₀₁₆的交点为（0，0），在交点的两侧观察图形得出y₂₀₁₅与y₂₀₁₆的函数值的大小．

解答解：（1）y₁=0时，a₁x（x-b₁）=0，
x₁=0，x₂=b₁，
∴A₁（b₁，0），
由正方形OB₁A₁D₁得：OA₁=B₁D₁=b₁，
∴B₁（$\frac{{b}_{1}}{2}$，$\frac{{b}_{1}}{2}$），D₁（$\frac{{b}_{1}}{2}$，-$\frac{{b}_{1}}{2}$），
∵B₁在抛物线c上，则$\frac{{b}_{1}}{2}$=$（\frac{{b}_{1}}{2}）^{2}$，
b₁（b₁-2）=0，
b₁=0（不符合题意），b₁=2，
∴D₁（1，-1），
把D₁（1，-1）代入y₁=a₁x（x-b₁）中得：-1=-a₁，
∴a₁=1，
故答案为：1，2；
（2）y₂=0时，a₂x（x-b₂）=0，
x₁=0，x₂=b₂，
∴A₂（b₂，0），
由正方形OB₂A₂D₂得：OA₂=B₂D₂=b₂，
∴B₂（$\frac{{b}_{2}}{2}$，$\frac{{b}_{2}}{2}$），
∵B₂在抛物线c₁上，则$\frac{{b}_{2}}{2}$=（$\frac{{b}_{2}}{2}$）²-2×$\frac{{b}_{2}}{2}$，
b₂（b₂-6）=0，
b₂=0（不符合题意），b₂=6，
∴D₂（3，-3），
把D₂（3，-3）代入C₂的解析式：-3=3a₂（3-6），a₂=$\frac{1}{3}$，
∴C₂的解析式：y₂=$\frac{1}{3}$x（x-6）=$\frac{1}{3}$x²-2x，
y₃=0时，a₃x（x-b₃）=0，
x₁=0，x₂=b₃，
∴A₃（b₃，0），
由正方形OB₃A₃D₃得：OA₃=B₃D₃=b₃，
∴B₃（$\frac{{b}_{3}}{2}$，$\frac{{b}_{3}}{2}$），
∵B₃在抛物线C₂上，则$\frac{{b}_{3}}{2}$=$\frac{1}{3}×$（$\frac{{b}_{3}}{2}$）²-2×$\frac{{b}_{3}}{2}$，
b₃（b₃-18）=0，
b₃=0（不符合题意），b₃=18，
∴D₃（9，-9），
把D₃（9，-9）代入C₃的解析式：-9=9a₃（9-18），a₃=$\frac{1}{9}$，
∴C₃的解析式：y₃=$\frac{1}{9}$x（x-18）=$\frac{1}{9}{x}^{2}$-2x；
（3）①C_n的解析式：y_n=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$x²-2x（n≥1）．
②由上题可得：
抛物线C₂₀₁₅的解析式为：y₂₀₁₅=$\frac{1}{{3}^{2014}}$x²-2x，
抛物线C₂₀₁₆的解析式为：y₂₀₁₆=$\frac{1}{{3}^{2015}}$x²-2x，
∴两抛物线的交点为（0，0）；
如图4，由图象得：当x≠0时，y₂₀₁₅＞y₂₀₁₆．

点评本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x轴交点坐标?把y=0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B₁、B₂、B₃、B_n的坐标；③增减性问题除了找交点坐标外，要观察图形写出．

练习册系列答案

一通百通小学毕业升学模拟测试卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>