Question

某工厂计划为学校生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1254名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，工厂现有库存木料302m³。
（1）有多少种生产方案？
（2）现要把生产的全部桌椅运往学校销售，已知每套型桌椅售价150元，生产成本100元，运费2元；每套型桌椅售价200元，生产成本120元，运费4元，求总利润（元）与生产型桌椅（套）之间的关系式，并确定总利润最少的方案和最少的总利润。（利润售价－生产成本－运费）
（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由。

Answer 1

（1）7种；（2）生产型桌椅246套、型桌椅254套时，总利润有最小值31118元；
（3）有剩余木料，最多为5名学生提供桌椅.

试题分析：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，由一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，表示出所需的木料数，根据所需的木料数小于等于302列出不等式，再由A型一桌两椅，B型一桌三椅，计算出提供多少学生的桌椅，大于等于1254列出不等式，两不等式联立组成不等式组，求出不等式组的解集，得到x的范围，再由x为正整数即可求得结果；
（2）由利润=售价-生产成本-运费，分别表示出A型桌椅与B型桌椅每套的利润，由生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套分别求出A和B的利润，相加表示出总利润y与x的一次函数关系式，由一次函数的比例系数小于0，得到此一次函数为减函数，将x的最大值代入求出对应y的值，即为最少的利润；
（3）由总利润最少时x的值，得到A型桌椅的套数，进而求出B型桌椅的套数，根据一套A型桌椅和一套B型桌椅所需的木料数，计算出用的木料数，用总木料数-用的木料数得到剩余的木料数，剩余的木料数可生产一套A型桌椅与一套B型桌椅，最多给5名学生提供桌椅．
（1）设生产型桌椅套，则生产型桌椅套，由题意得

解得
∵x为整数，
∴x的值有7个，分别为：240，241，242，243，244，245，246，
所以有7种生产方案；
（2）根据题意得：y=（150-100-2）x+（200-120-4）（500-x）=-28x+38000， 
，随的增大而减少
∴一次函数y=-28x+38000为减函数，即y随x的增大而减小，
当时，有最小值．
当生产型桌椅246套、型桌椅254套时，总利润有最小值31118（元）；
（3）当生产A型桌椅246套，B型桌椅254套时，用的木料为246×0.5+254×0.7=300.8m³，
可得剩余木料为302-300.8=1.2m³，
∵一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，
则生产A型桌椅1套，B型桌椅1套时，最多为5名学生提供桌椅.
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.