Question

3．如图，抛物线y=-x²+4ax-3经过点M（2，1），交x轴于A、B，交y轴负半轴于C，平移CM交x轴于D，交对称轴右边的抛物线于P，使DP=CM，求点P的坐标．

Answer 1

分析 先把M点的坐标代入y=-x²+4ax-3得到a=1，则抛物线解析式为y=-x²+4x-3，配成顶点式得到y=-（x-2）²+1，则抛物线的对称轴为直线x=2，易得C（0，-3），根据平移的规律，由于点M向下平移了1个单位，则点C向下平移1个单位，于是得到P点的纵坐标为-4，然后计算当y=-4时的自变量的值即可得到P点坐标．

解答 解：∵M（2，1）在抛物线y=-x²+4ax-3上，
∴-4+8a-3=1，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=0时，y=-3，则C（0，-3），
∵平移CM交x轴于D，得到DP，即点M向下平移了1个单位，
∴点C向下平移1个单位，
∴P点的纵坐标为-4，
当y=-4时，-（x-2）²+1=-4，解得x₁=2+$\sqrt{5}$，x₂=2-$\sqrt{5}$，
∵点P在直线x=2的右侧的抛物线上，
∴P点坐标为（2+$\sqrt{5}$，-4）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可化为解关于x的一元二次方程．也考查了点平移的规律和二次函数图象上点的坐标特征．