Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C、D，连接AC，BD，CD．

（1）点C的坐标是　 　，点D的坐标是　 　．

（2）在坐标轴上是否存在一点P，S△PAC＝S四边形ABDC，若存在这样一点，请求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．

（3）如图2，在线段CO上取一点G，使OG＝3CG在线段OB上取一点F，使OF＝2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积．

Answer 1

【答案】（1）（0，2），（4，2）；（2）存在，点P的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（0，6）或（0，﹣2）；（3）．

【解析】

（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可；

（2）先根据平行四边形的面积公式求出S四边形ABDC＝8，然后分点P在x轴上时求出AP的长度，分两种情况写出点P的坐标；点P在y轴上时，求出CP的长，分两种情况写出点P的坐标；

（3）求出点G、F的坐标，利用待定系数法求出直线CF、BG的解析式，联立求出点H的坐标，再根据S四边形OGHF＝S△OBG﹣S△HBF列式计算即可得出结果．

解：（1）∵点A（﹣1，0），B（3，0）分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，

∴点C、D的坐标分别为（0，2），（4，2），

故答案为：（0，2），（4，2）；

（2）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C、D，

∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，

∵C（0，2），

∴OC＝2，

∴S四边形ABDC＝4×2＝8，

点P在x轴上时，∵S△PAC＝S四边形ABDC，

∴AP×2＝×8，

解得AP＝2，

当点P在点A的左边时，﹣1﹣2＝﹣3，

点P的坐标为（﹣3，0），

点P在点A的右边时，﹣1+2＝1，

点P的坐标为（1，0）；

点P在y轴上时，∵S△PAC＝S四边形ABDC，

∴CP×1＝×8，

解得CP＝4，

点P在点C的上方时，2+4＝6，

点P的坐标为（0，6），

点P在点C的下方时，2﹣4＝﹣2，

点P的坐标为（0，﹣2），

综上所述，点P的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（0，6）或（0，﹣2）；

（3））∵OG＝3CG，

∴OG＝OC＝×2＝，

∴点G的坐标为（0，），

∵B（3，0），

∴OB＝3，

∵OF＝2BF，

∴OF＝OB＝×3＝2，

∴点F的坐标为（2，0），

设直线CF的解析式为：y＝kx+a，

则，

解得： ，

∴直线CF的解析式为：y＝﹣x+2，

设直线BG的解析式为：y＝mx+n，

则，

解得：，

∴直线BG的解析式为：y＝﹣x+

联立，

解得：，

∴点H的坐标为（1，1），

∴S四边形OGHF＝S△OBG﹣S△HBF

＝×3×﹣×（3﹣2）×1

＝﹣

＝．