Question

在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为（-8，0），B点坐标为（2，0），以AB为直径的⊙P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求图象经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设M点为（1）中抛物线的顶点，求直线MC的解析式；
（3）判定（2）中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连结AC、BC，如图，根据圆周角定理由AB为⊙P的直径得到∠ACB=90°，再证明Rt△ACO∽Rt△CBO，利用相似比计算出OC=4，则C点坐标为（0，-4），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）先把（1）轴得到的解析式配成顶点式得到M点的坐标，然后利用待定系数法确定直线MC的解析式；
（3）连结PC，如图，易得PC=5，PM=

25

4

，利用两点间的距离公式计算出MC=

15

4

，则根据勾股定理的逆定理可证明△PCM为直角三角形，∠PCM=90°，即PC⊥MC，则根据切线的判定定理可得直线MC与⊙P相切．

解答：解：（1）连结AC、BC，如图，
∵AB为⊙P的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
而∠ABC+∠BCO=90°，
∴∠BAC=∠BCO，
∴Rt△ACO∽Rt△CBO，
∴OC：OB=OA：OC，即OC：2=8：OC，
∴OC=4，
∴C点坐标为（0，-4），
设抛物线的解析式为y=a（x+8）（x-2），
把C（0，-4）代入得a•8•（-2）=-4，解得a=

1

4

，
∴抛物线解析式为y=

1

4

（x+8）（x-2）=

1

4

x²+

3

2

x-4；

（2）∵y=

1

4

x²+

3

2

x-4，=

1

4

（x²+6x+9-9）-4=

1

4

（x+3）²-

25

4

，
∴M点坐标为（-3，-

25

4

），
设直线MC的解析式为y=mx+n，
把C（0，-4）、M（-3，-

25

4

）代入得

n=-4 -3m+n=- 25 4

，解得

m= 3 4 n=-4

，
∴直线MC的解析式为y=

3

4

x-4；

（3）直线MC与⊙P相切．理由如下：
连结PC，如图，
∵AB为⊙P的直径，AB=10，
∴PC=5，
∵PM=

25

4

，MC=

32+(- 25 4 +4)2

=

15

4

，
而5²+（

15

4

）²=（

25

4

）²，
∴PC²+MC²=PM²，
∴△PCM为直角三角形，∠PCM=90°，
∴PC⊥MC，
∴直线MC与⊙P相切．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和三角形相似的判定与性质；会利用待定系数法确定函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明垂直；理解坐标与图形的性质．