Question

已知抛物线y=ax²+bx+c，当x=0时，有最小值为1；且在直线y=2上截得的线段长为4．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线的任意一点，记点P到x轴的距离为d₁，点P与点F（0，2）的距离为d₂，猜想d₁、d₂的大小关系，并证明；
（3）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点）．
①试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由；
②以PQ为直径的圆与y轴的交点为A、B，若OA•OB=1，求直线PQ对应的函数解析式．

Answer 1

解：（1）∵当x=0时，有最小值为1，
∴-=0，=1，
解得b=0，c=1，
∴抛物线关于y轴对称，
∵在直线y=2上截得的线段长为4，
∴抛物线经过点（-2，2）与（2，2），
∴4a+1=2，
解得a=，
所以，此抛物线的解析式：y=x²+1；

（2）猜想：d₁=d₂．
设抛物线上的点P的坐标为（x，x²+1），
则d₁=x²+1，
d₂=PF===x²+1，
所以，d₁=d₂；

（3）①以PQ为直径的圆与x轴相切．
理由如下：过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，
由（2）可知，PF=PM，QF=QN，
∴PF+QF=PM+QN，
即PQ=PM+QN，
∵圆心D是直径PQ的中点，过D作DE⊥x轴于点E，
∴DE=（PM+QN）=PQ，
即圆心到x轴的距离等于圆的半径，
所以，以PQ为直径的圆与x轴相切；
②由切割线定理可得OE²=OA•OB，
∵OA•OB=1，
∴OE²=1，
解得OE=1，
设直线PQ的解析式为y=kx+2，
联立得，x²+1=kx+2，
整理得，x²-4kx-4=0，
所以，线段PQ的中点横坐标为-=2k，
即点E的坐标为（2k，0），
当点E在y轴右侧时，2k=1，
解得k=，
此时，所求直线PQ对应的函数解析式为：y=x+2，
当点E在y轴左侧时，2k=-1，
解得k=-，
此时所求直线PQ对应的函数解析式为：y=-x+2，
综上，所求直线PQ对应的函数解析式为：y=x+2或y=-x+2．
分析：（1）根据抛物线的顶点坐标列式求出b=0，c=1，再根据在直线y=2上截得的线段长为4，利用抛物线的对称性可得点（2，2）在抛物线上，然后把点的坐标代入抛物线解析式求出a的值，从而得解；
（2）设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式求出PF的长，即d₂，d₁等于P点的纵坐标的值；比较两距离即可；
（3）①过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，根据（2）的结论可得PF=PM，QF=QN，然后利用梯形的中位线定理可得圆心到x轴的距离等于PQ的一半，再根据直线与圆的位置关系判断圆与x轴相切；
②设圆与x轴的切点为E，根据切割线定理可得OE=1，再设直线PQ的解析式为y=kx+2，与抛物线解析式联立，根据点PQ的中点的横坐标的长度等于OE列式求出k值，即可得解．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式，抛物线的对称性，两点间的距离公式，梯形的中位线定理，直线与圆的位置关系的判定，圆的切割线定理，综合性较强，（3）要注意分情况讨论．