Question

【题目】如图，已知E、F分别为平行四边形ABCD的对边AD、BC上的点，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：

（1）EM=FN；
（2）EF与MN互相平分．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAM=∠FCN，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，∴∠AME=∠CNF=90°，

在△AEM和△CFN中， ，

∴△AEM≌△CFN（AAS），

∴EM=FN

（2）证明：连接EN、FM，如图所示：

∵EM⊥AC，FN⊥AC，

∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，

∴EM∥FN，

又∵由（1）得EM=FN，

∴四边形EMFN是平行四边形，

∴EF与MN互相平分．

【解析】（1）根据已知易证△AEM≌△CFN，即可得出结论。
（2）要证EF与MN互相平分．只需证明四边形EMFN是平行四边形，由已知易证EM∥FN、EM=FN，即可得证。
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的判定与性质，掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积即可以解答此题．