Question

已知，（a-b）（a+b）=a²-b²，求
（1）（2-1）（2+1）=

3

；
（2）（2+1）（2²+1）=

15

；
（3）求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）的值；
（4）求（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）…（2³⁰+1）+7的个位数字．

Answer 1

分析：（1）根据平方差公式求出即可；
（2）添加上2-1=1，根据平方差公式求出即可；
（3）添加上（2-1），重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；
（4）求出（2+1）（2²+1）、（2+1）（2²+1）（2³+1）、（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）、…、（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）…（2³⁰+1）的结果，根据结果得出规律（结果的个位数字是5），即可求出答案．

解答：（1）解：（2-1）（2+1）=2²-1²=3．
故答案为：3；

（2）解：原式=（2-1）（2+1）（2²+1）
=（2²-1）（2²+1）
=2⁴-1²
=16-1
=15．
故答案为：15；

（3）解：原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2³²+1）
=（2⁸-1）（2⁸+1）…（2³²+1）
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）（2³²+1）
=（（2³²-1）（2³²+1）
=2⁶⁴-1．
故答案为：2⁶⁴-1；

（4）解：∵（2+1）（2²+1）=15，
（2+1）（2²+1）（2³+1）=135，
（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）=2295，
…，
∴（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）…（2³⁰+1）的结果的个位数字是5，
∵5+7=12，
∴（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）…（2³⁰+1）+7的个位数字是2．

点评：本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．