【题目】如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是-2.
(1)求这条直线的解析式及点B的坐标;
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?
【答案】(1)y=x+4,B(8,16)(2)存在.点C的坐标为(-
,0),(0,0),(6,0),(32,0)(3)18
【解析】试题分析:(1)首先求得点A的坐标,然后利用待定系数法确定直线的解析式,从而求得直线与抛物线的交点坐标;
(2)如图1,过点B作BG∥x轴,过点A作AG∥y轴,交点为G,然后分若∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2;若∠ACB=90°,则AB2=AC2+BC2;若∠ABC=90°,则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值,从而确定点C的坐标;
(3)设M(a,a2),如图2,设MP与y轴交于点Q,首先在Rt△MQN中,由勾股定理得MN=
a2+1,然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=
,从而得到MN+3PM=﹣
a2+3a+9,确定二次函数的最值即可.
试题解析:(1)y=x+4,B(8,16)
(2)存在.
过点B作BG∥x轴,过点A作AG∥y轴,交点为G,
∴AG2+BG2=AB2,
∵由A(-2,1),B(8,16)可求得AB2=325
.设点C(m,0),
同理可得AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5,
BC2=(m-8)2+162=m2-16m+320,
①若∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2-16m+320,解得m=-;
②若∠ACB=90°,则AB2=AC2+BC2,即325=m2+4m+5+m2-16m+320,解得m=0或m=6;
③若∠ABC=90°,则AB2+BC2=AC2,即m2+4m+5=m2-16m+320+325,解得m=32,
∴点C的坐标为(-,0),(0,0),(6,0),(32,0)
(3)设M(a,a2),
设MP与y轴交于点Q,在Rt△MQN中,
由勾股定理得MN=,
又∵点P与点M纵坐标相同,
∴x+4=
a2,
∴x= ,
∴点P的横坐标为,
∴MP=a-,
∴MN+3PM=a2+1+3(a-
)=-
a2+3a+9=-
(a-6)2+18,
∵-2≤6≤8,
∴当a=6时,取最大值18,
∴当M的横坐标为6时,MN+3PM的长度的最大值是18
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【题目】如图,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:
①四边形CEDF有可能成为正方形;
②△DFE是等腰直角三角形;
③四边形CEDF的面积是定值;
④点C到线段EF的最大距离为.
其中正确的结论是( )
A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③④
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【题目】如图,CD⊥AB,EF⊥AB,垂足分别为D、F,∠1=∠2,
(1)试判断DG与BC的位置关系,并说明理由.
(2)若∠A=70°,∠BCG=40°,求∠AGD的度数.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=4.点P、Q分别从点A、B同时出发,点P沿A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动,点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动.当其中一个点先到达点C时,点P、Q停止运动.当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时,求点P运动的时间.
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【题目】如图,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.
(1)试判断BF与DE的位置关系,并说明理由;
(2)若BF⊥AC,∠2=150°,求∠AFG的度数.
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【题目】如图,点E在线段CD上,EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,点F在线段AB上运动,AD=4cm,BC=3cm,且AD∥BC.
(1)你认为AE和BE有什么位置关系?并验证你的结论;
(2)当点F运动到离点A多少厘米时,△ADE和△AFE全等?为什么?
(3)在(2)的情况下,此时BF=BC吗?证明你的结论并求出AB的长.
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【题目】如图,已知AD∥CB,∠A=∠C,若∠ABD=32°,求∠BDC的度数.有同学用了下面的方法.但由于一时犯急没有写完整,请你帮他添写完整.
解:∵AD∥CB(已知)
∴∠C+∠ADC=180°(_________________),
又∵∠A=∠C (___________________),
∴∠A+∠ADC=180° (___________________),
∴AB∥CD (___________________________),
∴∠BDC=∠ABD=32° (___________________).
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【题目】Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是△ABC边AC,BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图①所示,且∠α=50°,则∠1+∠2=________°;
(2)若点P在边AB上运动,如图②所示,则∠α,∠1,∠2之间的关系为:____________;
(3)若点P运动到边AB的延长线上,如图③所示,则∠α,∠1,∠2之间有何关系?猜想并说明理由;
(4)若点P运动到△ABC形外,如图④所示,则∠α,∠1,∠2之间的关系为:____________.
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