Question

16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）（x-3）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，抛物线的顶点为P，规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）．
（1）如果该抛物线经过（1，3），求a的值，并指出此时“G区域”有6个整数点；（整数点就是横纵坐标均为整数的点）
（2）求抛物线y=a（x+1）（x-3）的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出a值，再分析当x=0、1、2时，在“G区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；
（2）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；
（3）分a＜0及a＞0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x+1）（x-3）经过（1，3），
∴3=a（1+1）（1-3），
解得：a=-$\frac{3}{4}$．
当y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=0时，x₁=-1，x₂=3，
∴点A（-1，0），点B（3，0）．
当x=0时，y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=$\frac{9}{4}$，
∴（0，1）、（0，2）两个整数点在“G区域”；
当x=1时，y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=3，
∴（1，1）、（1，2）两个整数点在“G区域”；
当x=2时，y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=$\frac{9}{4}$，
∴（2，1）、（2，2）两个整数点在“G区域”．
综上所述：此时“G区域”有6个整数点．
故答案为：6．
（2）∵y=a（x+1）（x-3）=a（x-1）²-4a，
∴顶点P的坐标为（1，-4a）．
（3）当x=0时，y=a（x+1）（x-3）=-3a，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，-3a）．
当a＜0时，如图1所示，
此时有$\left\{\begin{array}{l}{2＜-4a≤3}\\{-3a≤2}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{2}{3}$≤a＜-$\frac{1}{2}$；
当a＞0时，如图2所示，
此时有$\left\{\begin{array}{l}{-3≤-4a＜-2}\\{-3a≥-2}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{3}$．
综上所述：在（2）的条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为-$\frac{2}{3}$≤a＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，寻找“G区域”内整数点的个数；（2）利用配方法将抛物线解析式变形为顶点式；（3）依照题意，画出图形，观察图形找出关于a的一元一次不等式组．