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    （2013•门头沟区一模）已知：在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM．

    （1）如图1，当∠ABC=45°时，线段DM与AE之间的数量关系是
    AE=
    		2
    MD
    AE=
    		2
    MD
    ；
    （2）如图2，当∠ABC=60°时，线段DM与AE之间的数量关系是
    AE=2MD
    AE=2MD
    ；
    （3）①如图3，当∠ABC=α（0°＜α＜90°）时，线段DM与AE之间的数量关系是
    DM=cosα•AE
    DM=cosα•AE
    ；
    ②在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连结CP，若AB=7，AE=2
    		7
    ，求sin∠ACP的值．
    分析：（1）首先连接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=
    1
    2
    BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可证得△ABE∽△DBM，根据相似三角形的对应边成比例，即可得AE=
    		2
    DM；
    （2）由∠ABC=60°及△DBM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得MD=
    1
    2
    AE，继而可得AE=2MD；
    （3）①由△DBM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得DM=cosαAE；
    ②首先连接AD，EP，设AD交CP于N，根据题意易证得△ABC是等边三角形，△ABE∽△DBM，继而可证得△BEP为等边三角形，然后在Rt△AEB中，利用余弦函数的定义求出cos∠EAB=
    2
    		7
    7
    ，得出cos∠PCB=
    2
    		7
    7
    ，再解Rt△ABD，求出AD=
    7
    		3
    2
    ，解Rt△NDC，得到CN=
    7
    		7
    4
    ，ND=
    7
    		3
    4
    ，则NA=
    7
    		3
    4
    ，然后过N作NH⊥AC，垂足为H．解Rt△ANH，求出NH=
    1
    2
    AN=
    7
    		3
    8
    ，然后利用三角函数的定义，即可求得sin∠ACP的值．
    解答：解：（1）如图1，连接AD．
    ∵AB=AC，BD=CD，
    ∴AD⊥BC．
    又∵∠ABC=45°，
    ∴BD=AB•cos∠ABC，即AB=
    		2
    BD．
    ∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
    ∴△ABE∽△DBM．
    ∴
    AE
    DM
    =
    AB
    DB
    ，
    ∴AE=
    		2
    MD；

    （2）由（1）知△DBM∽△ABE，
    ∴
    DM
    AE
    =
    DB
    AB
    =cos∠ABC=cos60°=
    1
    2
    ，
    ∴MD=
    1
    2
    AE，
    ∴AE=2MD；

    （3）①由（1）知△DBM∽△ABE，
    ∴
    DM
    AE
    =
    DB
    AB
    =cos∠ABC=cosα，
    ∴DM=cosα•AE；
    ②如图2，连接AD，EP，设AD交CP于N．
    ∵AB=AC，∠ABC=60°，
    ∴△ABC是等边三角形．
    又∵D为BC的中点，
    ∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=
    1
    2
    AB．
    ∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
    ∴△ABE∽△DBM，
    ∴
    BE
    BM
    =
    AB
    DB
    =2，∠AEB=∠DMB，
    ∴BE=2BM．
    又∵BM=MP，
    ∴EB=BP．
    ∵∠EBM=∠ABC=60°，
    ∴△BEP为等边三角形，
    ∴EM⊥BP，
    ∴∠BMD=90°，
    ∴∠AEB=90°．
    在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=2
    		7
    ，AB=7，
    ∴cos∠EAB=
    2
    		7
    7
    ，cos∠PCB=cos∠EAB=
    2
    		7
    7
    ．
    在Rt△ABD中，AD=AB•sin∠ABD=
    7
    		3
    2
    ，
    在Rt△NDC中，CN=
    DC
    cos∠NCD
    =
    7
    		7
    4
    ，ND=
    		CN2-CD2
    =
    7
    		3
    4
    ，
    ∴NA=AD-ND=
    7
    		3
    4
    ．
    过N作NH⊥AC，垂足为H．
    在Rt△ANH中，NH=
    1
    2
    AN=
    7
    		3
    8
    ，
    ∴sin∠ACP=
    NH
    CN
    =
    		21
    14
    ．
    故答案为AE=
    		2
    MD；AE=2MD；DM=cosα•AE．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．
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    		3
    10
    		3
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