Question

如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=

6

．下列结论：
①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为

3

﹔③EB⊥ED﹔④S_△APD+S_△APB=0.5+

2

．
其中正确结论的序号是（　　）

A．①③④

B．①②③

C．②③④

D．①②④

Answer 1

分析：根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠DAP，然后利用“边角边”证明△APD和△AEB全等，从而判定①正确，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠APD=135°，然后求出∠BEP=90°，判定③正确，根据等腰直角三角形的性质求出PE，再利用勾股定理列式求出BE的长，然后根据S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE列式计算即可判断出④正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，先求出∠BEF=45°，从而判断出△BEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出BF的长为

2

，判断出②错误．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP=90°，
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△APD和△AEB中，

AE=AP ∠BAE=∠DAP AB=AD

，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；

∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，故③正确；

∵AE=AP=1，
∴PE=

2

AE=

2

，
在Rt△PBE中，BE=

PB2-PE2

=

6 2- 2 2

=2，
∴S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE，
=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×2，
=0.5+

2

，故④正确；

过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，
∵∠BEF=180°-135°=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=

2

2

×2=

2

，
即点B到直线AE的距离为

2

，故②错误，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选A．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．