Question

已知反比例函数y=和一次函数y=-2x-1，其中依次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+m）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图所示，已知点A在第二象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，试判断在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）依题意可知：，
解得：m=-2．
∴反比例函数解析式为：y=-．

（2）由，
得，，
∵A点在第二象限，
∴点A的坐标为（-1，1）．

（3）如图所示：

OA=，OA与x轴所夹锐角为45°．
①OA为腰时，
若OA=OP，则可得P₁（，0），P₂（-，0）；
若OA=AP，得P₃（-2，0）；
②OA为底时，P₄（-1，0）．
故这样的点存在，共有四个，分别是P₁（，0），P₂（-，0），P₃（-2，0），P₄（-1，0）．
分析：（1）将（a，b），（a+1，b+m）代入一次函数解析式，可得出m的值，继而得出反比例函数解析式；
（2）联立两解析式，可求出交点坐标，再由A在第二象限，可得点A的坐标；
（3）分两种情况讨论，①OA为腰，②OA为底，分别求出点P的坐标即可．
点评：本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是掌握整体代入思想、数形结合思想的综合运用，难点在最后一问，注意分类讨论，不要漏解．