Question

如图，点E是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个正方形AEFG，线段GB与线段ED，AD分别交于点H，M．
（1）求证：ED=GB；
（2）判断ED与GB的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=2，AE=

2

，求GB的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据正方形的性质得出AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，求出∠EAD=∠GAB，根据SAS推出△EAD≌△GAB即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠GBA=∠EDA，求出∠DHM=90°即可；
（3）连接BD和AC，两线交于O，勾股定理求出AC=BD=2

2

，求出AO=DO=

2

，EO=2

2

，根据勾股定理求出即可．

解答：（1）证明：∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，
∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，
∴∠EAD=∠GAB=90°+∠GAD，
在△EAD和△GAB中，

AE=AG ∠EAD=∠GAB AD=AB

，
∴△EAD≌△GAB（SAS），
∴ED=GB；

（2）解：ED⊥GB，
理由是：∵∠EAD≌△GAB，
∴∠GBA=∠EDA，
∵∠AMB+∠GBA=90°，∠DMH=∠AMB，
∴∠DMH+∠EDA=90°，
∴∠DHM=180°-90°=90°，
∴ED⊥GB；

（3）解：连接BD和AC，两线交于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，AB=BC=CD=AD=2，∠DAB=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，
由勾股定理得：AC=BD=

22+22

=2

2

，
∴AO=DO=

2

，
∴EO=

2

+

2

=2

2

，
在Rt△EOD中，ED=

DO2+EO2

=

10

，
∴GB=ED=

10

．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出∠EAD≌△GAB和求出DO、EO的长，综合性比较强，难度适中．