Question

如图，已知⊙O的圆心O在射线PM上，PN切⊙O于Q，PO=20cm，∠P=30°，A、B两点同时从P点出发，点A以4cm/s的速度沿PM方向移动，点B沿PN方向移动，且直线AB始终垂直PN．设运动时间为t秒，求下列问题．（结果保留根号）
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时直线AB与⊙O相切？
（3）当t为何值时，直线AB与⊙O相交的弦长是16cm？

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OQ，由PN切⊙o于Q，根据切线的性质可得OQ⊥PN，又由PO=20cm，∠P=30°，即可求得PQ的长；
（2）作OH⊥AB于H，由AB⊥PN，即可得四边形BHOQ是矩形，当矩形BHOQ是正方形时，直线AB与⊙O相切．即可求得PA与AB的长，然后分别从当PQ-PB=OQ时，直线AB第一次与⊙O相切与当PB-PQ=OQ时，直线AB第二次与⊙O相切去分析求解，即可求得答案；
（3）由当直线AB与⊙O相交于EF时，ER=8，EO=10，即可求得OR=6，又由PB=PQ±6时，EF的长都是16cm，点A的速度是4cm/s，求得点B的速度是2cm/s，即可求得答案．
解答：解：（1）连接OQ，
∵PN切⊙O于Q，
∴OQ⊥PN，（2分）
∵PO=20（cm），∠P=30°，
∴OQ=10（cm），PQ=（cm）（4分）

（2）作OH⊥AB于H，
∵AB⊥PN，
∴四边形BHOQ是矩形，
当矩形BHOQ是正方形时，直线AB与⊙O相切．
∵PA=4t，
∴AB=2t，
故PB=（6分）
当PQ-PB=OQ时，直线AB第一次与⊙O相切，
∴10-2t=10
解得：t=5-，
当PB-PQ=OQ时，直线AB第二次与⊙O相切，
2t-10=10，
解得：t=5+，
∴当t=t=5±时，直线AB与⊙O相切．（8分）

（3）当直线AB与⊙O相交于EF时，ER=8，EO=10，
∴OR=6，
∴PB=PQ±6时，EF的长都是16cm．（10分）
∵点A的速度是4cm/s，
∴点B的速度是2cm/s，
∴t₁==5-，t₂==5+
∴当t=5±秒时，相交的弦长是16cm．（12分）
点评：此题考查了切线的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．