Question

11．如图，点P，Q是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，下列结论错误的是（　　）

• A． △ABQ≌CAP
• B． ∠CMQ的度数不变，始终等于60°
• C． BP=CM
• D． △PBQ有可能为直角三角形

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定一一判断即可．

解答 解：A、∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠ABQ=∠CAP}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
故A正确；

B、点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
故B正确；

C、在等边△ABC中，AB=BC．
∵点P、Q的速度都为1cm/s，
∴AP=BQ，
∴BP=CQ．
只有当CM=CQ时，BP=CM．
故C错误；

D、设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=$\frac{4}{3}$，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=$\frac{8}{3}$，
∴当第$\frac{4}{3}$秒或第$\frac{8}{3}$秒时，△PBQ为直角三角形．
故D正确．
故选C．

点评 此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．