Question

已知双曲线xy=m过点（1，3），且y=kx+1与双曲线交于A，B点．
（1）求三角形AOB的面积与k的关系式；
（2）求三角形AOB的面积的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数系数k的几何意义,待定系数法求反比例函数解析式

专题：

分析：（1）由于双曲线xy=m过点（1，3），由此可以求出m的值，然后联立直线解析式解方程组可以用k表示A、B两点的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）根据y=kx+1与双曲线交于A，B点，得出根的判别式的符号，求出k的取值范围即可．

解答：解：（1）∵双曲线xy=m过点（1，3），
∴m=1×3=3，
∴双曲线解析式为：y=

3

x

，
∴S_△ACO+S_△DOB=

3

2

+

3

2

=3，
∵y=kx+1与y轴交点坐标为：（0，1），
y=kx+1与x轴交点坐标为：（-

1

k

，0），
∴S_△ABO=

1

2

×CO×DO+S_△ACO+S_△DOB=

1

2k

+3，

（2）∵y=kx+1与双曲线交于A，B点．
∴

3

x

=kx+1有两个不相等的根，
∴kx²+x-3=0，
b²-4ac=1+12k＞0，
∴k＞-

1

12

，

点评：此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质及待定系数法求解析式，要掌握它们的性质才能灵活解题．