精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,在矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC=2AB,延长AB到点G,使BG=AB,连结GO交BC于点E,延长GO交AD于点F.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)连结CG,若AE=3cm,延长AE交线段CG于点M,求AM的长.
分析:(1)根据中点定义可得AC=2AO,然后求出AO=AB,AC=AG,再利用“边角边”证明△AOG和△ABC全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ABC=∠AOG=90°,再利用“角边角”证明△AOF和△COE全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=CE,然后求出四边形AECF为平行四边形,最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明;
(2)先求出∠ACB=30°,再根据菱形的性质EA=EC,然后根据等边对等角求出∠EAO=30°,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OE,再利用勾股定理列式计算求出AO,从而得到AC的长度,然后求出∠CAE=∠GAE=30°,根据等腰三角形三线合一的性质以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CM,再利用勾股定理列式计算即可求出AM.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠FAO=∠ECO,
又∵BG=AB,AC=2AB,O为AC中点,
∴AO=CO=AB,AC=AG,
在△AOG和△ABC中,
AO=AB
∠BAC=∠OAG
AC=AG

∴△AOG≌△ABC(SAS),
∴∠ABC=∠AOG=90°,
在△AOF和△COE中,
∠FAO=∠ECO
AO=CO
∠AOF=∠COE

∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=CE,
∴四边形AECF为平行四边形,
又∵AC⊥EF,
∴四边形AECF为菱形;

(2)在Rt△ABC中,由AB=
1
2
AC可推出∠ACB=30°,
由菱形可得EA=EC,
∴∠EAO=30°,
∵AE=3cm,
∴OE=
1
2
AE=
3
2
cm,AO=
AE2-OE2
=
32-(
3
2
)
2
=
3
3
2
cm,
AC=2AO=3
3
cm,
延长AE交CG于点M,∵AC=AG且∠CAE=∠GAE=30°,
∴AM⊥CG,
∴CM=
1
2
AC=
3
3
2
cm,
∴AM=
AC2-CM2
=
(3
3
)
2
-(
3
3
2
)
2
=
9
2
cm.
点评:本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质,熟记各图形的性质与判定方法找出三角形全等的条件是解题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,点P从点A出发以1cm/s的速度向点B运动,点Q从点B出发以2cm/s的速度向点C运动,设经过的时间为xs,△PBQ的面积为ycm2,则下列图象能反映y与x之间的函数关系的是(  )
A、精英家教网B、精英家教网C、精英家教网D、精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE精英家教网
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=
2
,BC=2,求⊙O的半径.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图①,在矩形 ABCD中,AB=30cm,BC=60cm.点P从点A出发,沿A→B→C→D路线向点D匀速运动,到达点D后停止;点Q从点D出发,沿 D→C→B→A路线向点A匀速运动,到达点A后停止.若点P、Q同时出发,在运动过程中,Q点停留了1s,图②是P、Q两点在折线AB-BC-CD上相距的路程S(cm)与时间t(s)之间的函数关系图象.
(1)请解释图中点H的实际意义?
(2)求P、Q两点的运动速度;
(3)将图②补充完整;
(4)当时间t为何值时,△PCQ为等腰三角形?请直接写出t的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=6,则AD=(  )

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与AB交于点F,设CE=x,BF=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若设线段AB的长为m,上述其它条件不变,m为何值时,函数y的最大值等于3?

查看答案和解析>>

同步练习册答案