Question

2．在Rt△POQ中，OP=OQ，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．
（1）求证：MA=MB；
（2）在旋转三角尺的过程中，四边形AOBM的面积是否变化？试说明你的理由．
（3）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长有变化（直接填“有”或“没有”）．

Answer 1

分析 （1）过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，可得四边形OEBF是矩形，根据三角形的中位线定理可得ME=MF，再根据同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角边角”证明△AME和△BMF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）利用四边形AOBM的面积为：S_△POQ-S_△MPA-S_△MQB进而得出即可；
（3）根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，设OA=x，表示出AE为2-x，即BF的长度，然后表示出OB=2+（2-x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍表示出AB的长度，然后根据三角形的周长公式列式判断出△AOB的周长随AB的变化而变化，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的x的值，然后解答即可．

解答 （1）证明：如图，过点M作ME⊥OP于点E，作MF⊥OQ于点F，
∵∠O=90°，
∴四边形OEMF是矩形，
∵M是PQ的中点，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=$\frac{1}{2}$OQ=2，MF=$\frac{1}{2}$OP=2，
∴ME=MF，
∴四边形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠BMF}\\{ME=MF}\\{∠AEM=∠BFM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB；

（2）解：四边形AOBM的面积不发生变化；
理由：由（1）得出：AE=FB，OF=FQ=OE，
∴BQ=FQ-BF=EO-AE=AO，
∴PA+BQ=PO=5，
∵四边形AOBM的面积为：S_△POQ-S_△MPA-S_△MQB=$\frac{1}{2}$×PO×QO-$\frac{1}{2}$（PA+BQ）×ME=$\frac{1}{2}$×5×5-$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5}{2}$=$\frac{25}{4}$；

（3）解：由（1）证得△AME≌△BMF（ASA），
∴AE=BF，
设OA=x，则AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM=$\sqrt{A{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{（2-x）^{2}+{2}^{2}}$，
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（2-x）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$，
∴△AOB的周长=OA+OB+AB=x+（4-x）+$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$=4+$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$，
∵x是一个变量，
∴，△AOB的周长有变化，
故答案为：有．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角的性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用，以及二次函数的最值问题，作出辅助线，把动点问题转化为固定的三角形，构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．