Question

【题目】平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C 在坐标轴上，点B（，），P是射线OB上一点，将绕点A顺时针旋转90°，得，Q是点P旋转后的对应点.

（1）如图（1）当OP = 时，求点Q的坐标；

（2）如图（2），设点P（，）（），的面积为S. 求S与的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；

（3）当BP+BQ = 时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）先根据正方形的性质、解直角三角形可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，由此即可得出答案；

（2）先根据正方形的性质得出，，再根据旋转的性质、勾股定理可得，，然后根据直角三角形的面积公式可得S与x的函数关系式，最后利用二次函数的解析式即可得点P的坐标；

（3）先根据旋转的性质、正方形的性质得出，，从而得出点P在OB的延长线上，再根据线段的和差可得，然后同（1）的方法可得，，最后根据三角形全等的性质、线段的和差可得，由此即可得出答案．

（1）如图1，过P点作轴于点G，过Q点作轴于点H

∵四边形OABC是正方形

∴

∵

∴

在中，，

∴

∵绕点A顺时针旋转得到

∴，

在和中，

∴

∴

∴

则点Q的坐标为；

（2）如图2，过P点作轴于点G

∵绕点A顺时针旋转得到

∴

∵

∴，

∴

在中，由勾股定理得：

整理得：

∴

整理得：

由二次函数的性质可知，当时，S随x的增大而减小；当时，S随x的增大而增大

则当时，S取得最小值，最小值为9

此时

故点P的坐标为；

（3）∵绕点A顺时针旋转得到

∴

∵

∴

∵四边形OABC是正方形，且边长

对角线

∴点P在OB的延长线上

∴

解得

如图3，过P点作轴于点G，过Q点作轴于点H

同（1）可得：，

，

则点Q的坐标为．