分析 (1)可设顶点式,把原点坐标代入可求得抛物线解析式,联立直线与抛物线解析式,可求得C点坐标;
(2)分别过A、C两点作x轴的垂线,交x轴于点D、E两点,结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°,可证得结论;
(3)设出N点坐标,可表示出M点坐标,从而可表示出MN、ON的长度,当△MON和△ABC相似时,利用三角形相似的性质可得$\frac{MN}{AB}$=$\frac{ON}{BC}$或$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$,可求得N点的坐标.
解答 解:
(1)∵顶点坐标为(1,1),
∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2+1,
又抛物线过原点,
∴0=a(0-1)2+1,解得a=-1,
∴抛物线解析式为y=-(x-1)2+1,
即y=-x2+2x,
联立抛物线和直线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$,
∴B(2,0),C(-1,-3);
(2)如图,分别过A、C两点作x轴的垂线,交x轴于点D、E两点,
则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,
∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形;
(3)假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,-x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|-x2+2x|,
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=$\sqrt{2}$,BC=3$\sqrt{2}$,
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴当△ABC和△MNO相似时有$\frac{MN}{AB}$=$\frac{ON}{BC}$或$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$,
①当$\frac{MN}{AB}$=$\frac{ON}{BC}$时,则有$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|x|}{3\sqrt{2}}$,即|x||-x+2|=$\frac{1}{3}$|x|,
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形,
∴x≠0,
∴|-x+2|=$\frac{1}{3}$,即-x+2=±$\frac{1}{3}$,解得x=$\frac{5}{3}$或x=$\frac{7}{3}$,
此时N点坐标为($\frac{5}{3}$,0)或($\frac{7}{3}$,0);
②当$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$时,则有$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|x|}{\sqrt{2}}$,即|x||-x+2|=3|x|,
∴|-x+2|=3,即-x+2=±3,解得x=5或x=-1,
此时N点坐标为(-1,0)或(5,0),
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为($\frac{5}{3}$,0)或($\frac{7}{3}$,0)或(-1,0)或(5,0).
点评 本题为二次函数的综合应用,涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在(1)中注意顶点式的运用,在(3)中设出N、M的坐标,利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键,注意相似三角形点的对应.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
树苗 | 每株树苗批发价格(元) | 两年后每株树苗对空气的净化指数 |
雪松 | 30 | 0.4 |
香樟 | 20 | 0.1 |
垂柳 | P | 0.2 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 由7-x=13,得x=13-7 | B. | 由5x=4x+8,得5x-4x=8 | ||
C. | 由$\frac{1}{2}$x=1,得x=$\frac{1}{2}$ | D. | 由7x+6=5x,得7x-5x=6 |
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