Question

1．如图1，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：BC=2DF；
（2）如图2，连接AE，过点C作AE的垂线交⊙O于点M，垂足为G，过点B作CM的垂线，垂足为H，若∠EAB+∠ODF=45°，AB=10，求弦CM的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理证得2BE=BC，根据AAS证得△OEB≌△OFD，得出DF=BE，即可证得BC=2DF；
（2）连接AM、BM，由AE⊥CM．BH⊥CM．证得AE∥BH，得出∠EAB=∠ABH，进一步证得CG=GH，
进而证得∠CBH=∠C=45°，得出CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，通过证得△AMG≌△MBH（AAS），得出MG=BH=CH，即MH=$\frac{1}{3}$CM，BH=$\frac{2}{3}$CM，根据圆周角定理证得△ABM是等腰直角三角形，得出AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，然后根据勾股定理即可求得．

解答 （1）证明：OD⊥弦BC于点E，
∴CE=BE，
∴2BE=BC，
∵DF⊥AB于点F．
∴∠OEB=∠OFD=90°，
在△OEB和△OFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOF=∠EOB}\\{∠OFD=∠OEB}\\{OD=OB}\end{array}\right.$
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴DF=BE，
∴BC=2DF；
（2）解：连接AM、BM，
∵AE⊥CM．BH⊥CM．
∴AE∥BH，
∴∠EAB=∠ABH，
∵△OEB≌△OFD，
∴∠ODF=∠ABC，
∵∠EAB+∠ODF=45°，
∴∠ABH+∠ABC=45°，即∠CBH=45°，
∵∠CHB=90°，
∴∠C=45°，
∴CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∵AB是直径，
∴∠AMB=90°，
∵∠MAB=∠C=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10=5$\sqrt{2}$，
∵∠AMC+∠BMC=90°，∠GAM+∠AMC=90°，
∴∠GAM=∠HMB，
在△AMG和△MBH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAM=∠HMB}\\{∠AGM=∠MHB=90°}\\{AM=BM}\end{array}\right.$
∴△AMG≌△MBH（AAS），
∴MG=BH，
∴MG=CH，
∴CG=MH，
∵AE∥BH，CE=BE，
∴CG=GH，
∴MH=$\frac{1}{3}$CM，BH=$\frac{2}{3}$CM，
在RT△BMH中，MH²+BH²=BM²，
∴（$\frac{1}{3}$CM）²+（$\frac{2}{3}$CM）²=（5$\sqrt{2}$）²，
∴CM=3$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理以及三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键．