【题目】已知在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点左侧),与轴交于点,顶点为.
(1)如图,直线下方抛物线上的一个动点(不与点重合),过点作于点,当最大时,点为线段一点(不与点重合),当的值最小时,求点的坐标;
(2)将沿直线翻折得,再将绕着点顺时针旋转得,在旋转过程中直线与直线相交于点,与轴相交于点,当是等腰三角形时,求的长.
【答案】(1);(2)的长为或3或.
【解析】
(1)首先求出点A、B、C的坐标,利用待定系数法求出直线BC的解析式,再设过点且平行于的直线解析式为.求出与的交点坐标,
再将沿轴翻折交轴于点,作于点,于点.求出,推出当共线时,的值最小,即为的值,
由直线和直线即可求出点E的坐标;
(2)分三种情况讨论分析,即当时,作于点;当时,点与重合;当时,.
解:(1)令,即,
解得,,
,.
令,得,
.
设直线的解析式为,
解得
直线.
设过点且平行于的直线解析式为.
当与只有一个交点时,的值最大,由,
得,此方程有两个相等的实数根,
,
此时,
.
如图1,将沿轴翻折交轴于点S,作于点,于点.
,
,
,
,
,
,
当共线时,的值最小,即为的值
,,
直线.
,
设直线.
,
,
,
直线.
由和,
解得
.
(2)①如图2,当时,作于点.
,,
,,,
.
设,则.
,
,解得,
.
②如图3,当时,点与重合,此时,.
③如图4,当时,,
.,
解可得.
综上所述当是等腰三角形时,的长为或3或.
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【题目】如图,PA与⊙O相切于点A,过点A作AB⊥OP,垂足为C,交⊙O于点B.连接PB,AO,并延长AO交⊙O于点D,与PB的延长线交于点E.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若OC=3,AC=4,求PB的长.
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【题目】如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动,动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动,动点E比动点F先出发1秒,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒.
(1)如图1,连接DE,AF.若DE⊥AF,求t的值;
(2)如图2,连结EF,DF.当t为何值时,△EBF∽△DCF?
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【题目】下面是小明设计的“作平行四边形的高”的尺规作图过程
已知:平行四边形ABCD.
求作:,垂足为点E.
作法:如图,
①分别以点A和点B为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点;
②作直线PQ,交AB于点O;
③以点O为圆心,OA长为半径做圆,交线段BC于点E;
④连接AE.
所以线段AE就是所求作的高.
根据小明设计的尺规作图过程
⑴使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
⑵完成下面的证明
证明:AP=BP, AQ= ,
PQ为线段AB的垂直平分线.
O为AB中点.
AB为直径,⊙O与线段BC交于点E,
.( )(填推理的依据)
.
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【题目】国庆期间某外地旅行团来重庆的网红景点打卡,游览结束后旅行社对该旅行团做了一次“我最喜爱的巴渝景点”问卷调查(每名游客都填了调査表,且只选了一个景点),統计后发现洪崖洞、长江索道、李子坝轻轨站、磁器口榜上有名.其中选李子坝轻轨站的人数比选磁器口的少人;选洪崖洞的人数不仅比选磁器口的多,且为整数倍;选磁器口与洪崖洞的人数之和是选李子坝轻轨站与长江索道的人数之和的倍;选长江索道与洪崖洞的人数之和比选李子坝轻轨站与磁器口的人数之和多24人.则该旅行团共有_______人.
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【题目】如图,二次函数的图象与轴正半轴相交于、两点,与轴相交于点,对称轴为直线,且,则下列结论:
①;②;③;④关于的方程有一个根为,其中正确的结论个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
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【题目】如图,抛物线与轴分别交于点,,与轴交于点,顶点为,对称轴交轴于点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点是抛物线的对称轴上的一点,以点为圆心的圆经过,两点,且与直线相切,求点的坐标.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得与相似?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出关于直线l对称的;(要求A与,B与,C与相对应)
(2)作出绕点C顺时针方向旋转90°后得到的;
(3)在(2)的条件下求出线段CB在旋转中所扫过的面积.(结果保留π)
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【题目】已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣2的图象(记为抛物线C1)顶点为M,直线l:y=2x﹣a与x轴,y轴分别交于A,B.
(1)对于抛物线C1,以下结论正确的是 ;
①对称轴是:直线x=1;②顶点坐标(1,﹣a﹣2);③抛物线一定经过两个定点.
(2)当a>0时,设△ABM的面积为S,求S与a的函数关系;
(3)将二次函数y=ax2﹣2ax﹣2的图象C1绕点P(t,﹣2)旋转180°得到二次函数的图象(记为抛物线C2),顶点为N.
①当﹣2≤x≤1时,旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小,求t的取值范围;
②当a=1时,点Q是抛物线C1上的一点,点Q在抛物线C2上的对应点为Q',试探究四边形QMQ'N能否为正方形?若能,求出t的值,若不能,请说明理由.
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