Question

15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为（4，0），（4，2），点D在第一象限，以D为圆心，半径为1的⊙D与y轴及矩形OABC的边BC都相切．
（1）求经过O、D、A三点的抛物线的解析式；
（2）若⊙D与矩形OABC组合得到的图形的面积能被一条直线平分，求这条直线的解析式；
（3）若点E在（1）中的抛物线上，那么，在x轴上是否存在点F，使得以F为圆心的⊙F与△ADE的三边AD、AE、DE所在直线都相切？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）点D的坐标为（1，3），然后利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）先确定出⊙D和矩形OABC的对称中心的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（3）当F为三角形的内心时，点F在∠DAE的角平分线上，由点D和点A的坐标可知∠DAO=45°，利用角的对称性可求得直线AE的解析式以及△DAE为直角三角形，然后与抛物线的解析式联立可解得点E的坐标为（-1，-5），接下来利用两点间的距离公式求得△AED的边长，然后由切线长定理可求得圆F的半径，由△AFC为等腰直角三角形可求得AF的长，从而可求得点F的坐标；当⊙F与△ADE的边AD、AE的延长线相切于P、Q，且与DE边相切于R时．⊙F的半径FP=$\frac{AD+AE+DE}{2}$=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{17}$，从而可求得点F的坐标为（-$\sqrt{34}$-4，0）．

解答 解：（1）根据题意可知点D的坐标为（1，3）．
设过O、D、A三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
将点O、D、A的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a+b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$
∴过O、D、A三点的抛物线的解析式为y=-x²+4x．
（2）如图1所示：连接AC、OB相交于点M．

∵M是矩形OABC的对称中心，D是⊙D的对称中心
∴直线DM平分⊙D与矩形OABC组合得到的图形的面积．
根据图形可知点M的坐标为（2，1）．
设直线DM的解析式为y=kx+b．
将点D和点M的坐标代入直线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{k+b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴直线DM的解析式为y=-2x+5
（3）假设在x轴上存在点F，使得⊙F与△ADE的三边AD、AE、DE所在的直线都相切，则有以下两种情形：
①如图2所示：当⊙F与△ADE的三边AD、AE、DE相切时，过点D作DB⊥OA，垂足为B，过点F作FC⊥AD，垂足为C．

∵点D的坐标为（1，3），点A的坐标为（4，0），DB⊥OA，
∴BD=AB．
∴∠DAO=45°．
∵⊙F与△ADE的三边AD、AE、DE相切时，
∴F是△ADE的内心．
∴AF是∠DAE的角平分线．
∴∠DAE=90°．
设点D关于x的对称点为点D′，则点D′的坐标为（1，-3）．
设直线AD′的解析式为y=kx+b．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$
∴直线AD′的解析式为y=x-4．
将y=x-4与y=-x²+4x联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=-{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$．
∴点E的坐标为（-1，-5）．
由两点间的距离公式得：AD=$\sqrt{（4-1）^{2}+（3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{（4+1）^{2}+（0+5）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，DA=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．
设圆F的半径为r，由切线长定理可知：AD+AE-2r=ED，即3$\sqrt{2}$+5$\sqrt{2}$-2r=2$\sqrt{17}$．
解得：r=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{17}$．
∵∠CAF=45°，
∴AF=$\sqrt{2}$CF=8-$\sqrt{34}$．
∴点F的坐标为（$\sqrt{34}-4$，0）．
②如图3所示：当⊙F与△ADE的边AD、AE的延长线相切于P、Q，且与DE边相切于R时．

由切线长定理可知：DR=DP=AP-AD，ER=EQ=AQ-AE，FP=AP=AQ=FQ
∴DE=DR+ER=AP-AD+AQ-AE=2FP-AD-AE
∴⊙F的半径FP=$\frac{AD+AE+DE}{2}$=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{17}$．
∴AF=$\sqrt{2}$FP=8+$\sqrt{34}$．
∴点F的坐标为（-$\sqrt{34}$-4，0）．
综上所述，x轴上存在点F，使得⊙F与△ADE的三边AD、AE、DE所在的直线都相切，点F的坐标为（$\sqrt{34}$-4，0）或（-$\sqrt{34}$-4，0）．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线长定理、切线的性质、矩形的性质、两点间的距离公式、待定系数法求得函数的解析式，利用切线长定理求得⊙F的半径是解题的关键．