Question

10．在平面直角坐标系中双曲线$y=\frac{k}{x}$经过△CDB顶点B，边BC过坐标原点O，点D在x轴的正半轴上，且∠BDC=90°，现将△CDB绕点B顺时针旋转得到对应△AOB如图所示，此时AB∥x轴，OA=$2\sqrt{3}$．则k的值是（　　）

• A． $-\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． -3
• D． 3

Answer 1

分析 先求得△BOD是等边三角形，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式．

解答 解：过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO=∠BOD，∠ABD+∠BDO=180°，
∵将△CDB绕点B顺时针旋转得到对应△AOB，
∴∠ABO=∠CBD，
∴∠BOD=∠OBD，
∵OB=BD，
∴∠BOD=∠BDO，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，∠BAO=∠AOE=30°，
∵OA=$2\sqrt{3}$，
∴AE=BF=$\sqrt{3}$，
∴B（1，$\sqrt{3}$）；
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点B，
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，求得△BOD是等边三角形是解题的关键．