Question

根据题意，解答问题：

（1）如图1，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长．
（2）如图2，类比（1）的解题过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出点M（3，4）与点N（-2，-1）之间的距离．
（3）在（2）的基础上，若有一点D在x轴上运动，当满足DM=DN时，请求出此时点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）由一次函数解析式求得点A、B的坐标，则易求直角△AOB的两直角边OB、OA的长度，所以在该直角三角形中利用勾股定理即可求线段AB的长度；
（2）如图2，过M点作x轴的垂线MF，过N作y轴的垂线NE，MF和NE交于点C，构造直角△MNC，则在该直角三角形中利用勾股定理来求求点M与点N间的距离；
（3）如图3，设点D坐标为（m，0），连结ND，MD，过N作NG垂直x轴于G，过M作MH垂直x轴于H．在直角△DGN和直角△MDH中，利用勾股定理得到关于m的方程1²+（m+2）=4²+（3-m）²
通过解方程即可求得m的值，则易求点D的坐标．

解答：解：（1）令x=0，得y=4，即A（0，4）．
令y=0，得x=-2，即B（-2，0）．
在Rt△AOB中，根据勾股定理有：
AB=

BO2+AO2

=

(-2)2+42

=2

5

；

（2）如图2，过M点作x轴的垂线MF，过N作y轴的垂线NE，MF和NE交于点C．
根据题意：MC=4-（-1）=5，NC=3-（-2）=5．
则在Rt△MCN中，根据勾股定理有：
MN=

MC2+NC2

=

52+52

=5

2

；

（3）如图3，设点D坐标为（m，0），连结ND，MD，过N作NG垂直x轴于G，过M作MH垂直x轴于H．
则GD=|m-（-2）|，GN=1，DN²=GN²+GD²=1²+（m+2）²
MH=4，DH=|3-m|，DM²=MH²+DH²=4²+（3-m）²
∵DM=DN，
∴DM²=DN²
即1²+（m+2）=4²+（3-m）²
整理得：10m=20  得m=2 
∴点D的坐标为（2，0）．

点评：本题考查了勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征．注意：突破此题的难点的方法是辅助线的作法．