Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD．
（1）如图①，连接AC，如果三角形ADC的面积为6，求梯形ABCD的面积；
（2）如图②，E是腰AB上一点，连接CE，设△BCE和四边形AECD的面积分别为S₁和S₂，且2S₁=3S₂，求的值；
（3）如图③，AB=CD，如果CE⊥AB于点E，且BE=3AE，求∠B的度数．

Answer 1

解：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，又△ADC与△ABC等高，且BC=3AD，
∴S_△ABC=3S_△ADC，
∵S_△ADC=6，
∴S_梯形ABCD=S_△ABC+S_△ACD=4S_△ADC=24．

（2）方法1：连接AC，如图①，设△AEC的面积为S₃，则△ACD的面积为S₂-S₃，

由（1）和已知可得
解得：S₁=4S₃．
∴．
∵△AEC与△BEC等高，
∴．
方法2：延长BA、CD相交于点F，如图②
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∴，
设S_△FAD=S₃=a，则S_△FAD=9a，S₁+S₂=8a，
又∵2S₁=3S₂，
∴a，a，S₃=a．
∵△EFC与△CEB等高，
∴．
设FE=7k，则BE=8k，FB=15k，
∴FA=FB=5k．
∴AE=7k-5k=2k．
∴．

（3）延长BA、CD相交于点M．如图③，
∵AD∥BC，
∴△MAD∽△MBC，
∴．
∴MB=3MA．设MA=2x，则MB=6x．
∴AB=4x．
∵BE=3AE，
∴BE=3x，AE=x．
∴BE=EM=3x，E为MB的中点．
又∵CE⊥AB，
∴CB=MC．
又∵MB=MC，
∴△MBC为等边三角形．
∴∠B=60°．
分析：（1）由△ADC与△ABC等高，且BC=3AD，可得△ABC的面积是△ADC面积的三倍，所以可求得△ADC的面积，即可求得梯形ABCD的面积；
（2）可利用面积法求解，因为如果三角形的高相等，则其面积的比等于其底的比，所以可求得AE与BE的比；
（3）首先延长BA与CD，然后根据面积的关系求得△MBC是等边三角形，即可得∠B为60°．
点评：此题考查了如果三角形的高相等，则面积比等于其底边的比．解此题的关键是准确的作出辅助线与数形结合思想的应用．