Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，过点A作AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD是菱形．
（2）在（1）的条件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以点A为圆心，AE的长为半径画弧交BE于点F，连接AF，在图中，用尺规补齐图形（仅保留作图痕迹），并证明点F是BE的中点．

Answer 1

证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形AECD是菱形．

（2）补齐图形：
证明：∵∠B=30°，AE⊥AB，
∴∠AEB=60°，
∵AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=BF，∠EAF=60°，
∴∠BAF=90°-∠EAF=30°，
∴∠BAF=∠B，
∴AF=BF，
∴BF=EF，
即点F是BE的中点．
分析：（1）由AD∥BC，AE∥DC，可证得四边形AECD是平行四边形，又由AD=CD，即可证得四边形AECD是菱形．
（2）由∠B=30°，AE⊥AB，AE=AF，易得△AEF是等边三角形，继而证得△ABF是等腰三角形，则可证得BF=AF=EF，即可得点F是BE的中点．
点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．