【题目】已知:等边三角形,交轴于点,,,,,且、满足.
(1)如图,求、的坐标及的长;
(2)如图,点是延长线上一点,点是右侧一点,,且.连接.
求证:直线必过点关于轴对称的对称点;
(3)如图,若点在延长线上,点在延长线上,且,求的值.
【答案】(1)A(-3,0),B(1,0),CD=2;(2)见解析;(3)6.
【解析】
(1)首先利用绝对值的非负性得出,即可得出点A、B的坐标;得出AB、BC,然后由∠CBA=60°得出∠ODB=30°,进而得出BD,得出CD;
(2)首先判定△CEP、△ABC为等边三角形,进而判定△CBE≌△CAP,然后利用角和边的关系得出DO=OF,即可判定点D、F关于轴对称,直线必过点关于轴对称的对称点;
(3)作DI∥AB,判定△CDI为等边三角形,然后判定△MDI≌△NDB,得出NB=MI,进而得出的值.
(1)∵,即
∴
∴
∴A(-3,0),B(1,0),
∴AB=BC=4,
∵∠CBA=60°
∴∠ODB=30°
∴BD=2OB=2
∴CD=BC-BD=4-2=2;
(2)延长EB交轴于F,连接CE,如图所示:
∵,
∴△CEP为等边三角形
∴∠ECP=60°,CE=CP
由(1)中得知,△ABC为等边三角形
∴∠ACB=60°,CA=CB
∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+∠BCP
∴∠ACP=∠BCE
∴△CBE≌△CAP(SAS)
∴∠CEB=∠CPA
∴∠EBP=∠ECP=60°
∴∠FBO=∠DBO=60°
∴∠BFO=∠BDO=30°
∴BD=BF
∵BO⊥DF
∴DO=OF
∴点D、F关于轴对称
∴直线必过点关于轴对称的对称点;
(3)过点D作DI∥AB交AC于I,如图所示:
由(2)中△ABC为等边三角形,则△CDI为等边三角形,
∴DI=CD=DB
∴∠MID=120°=∠DBN
∴△MDI≌△NDB(AAS)
∴NB=MI
∴AN-AM=(AB+NB)-AM=AB+MI-AM=AB+AI=AB+BD=4+2=6
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【题目】建立模型:如图1,已知△ABC,AC=BC,∠C=90°,顶点C在直线l上.
实践操作:过点A作AD⊥l于点D,过点B作BE⊥l于点E,求证:△CAD≌△BCE.
模型应用:(1)如图2,在直角坐标系中,直线l1:y=x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2.求l2的函数表达式.
(2)如图3,在直角坐标系中,点B(8,6),作BA⊥y轴于点A,作BC⊥x轴于点C,P是线段BC上的一个动点,点Q(a,2a﹣6)位于第一象限内.问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请求出此时a的值,若不能,请说明理由.
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【题目】在某段限速公路BC上(公路视为直线),交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h(即),并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中,点A位于y轴上,测速路段BC在x轴上,点B在点A的北偏西60°方向上,点C在点A的北偏东45°方向上.另外一条公路在y轴上,AO为其中的一段.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s,通过计算,判断该汽车在这段限速路上是否超速.(参考数据: ≈1.7)
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【题目】如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°.若固定△ABC,将△DEC绕点C旋转.
(1)当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时,如图2.
①当∠B=∠E=30°时,此时旋转角的大小为 ;
②当∠B=∠E=α时,此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示).
(2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小杨同学猜想:△BDC的面积与△AEC的面积相等,试判断小杨同学的猜想是否正确,若正确,请你证明小杨同学的猜想.若不正确,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC的面积为12,AC=3,现将△ABC沿AB所在直线翻折,使点C落在直线AD上的C处,P为直线AD上的一点,则线段BP的长可能是( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 10
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【题目】如图,数轴上的点A、B、C、D、E表示连续的五个整数,对应数分别为a、b、c、d、e.
(1)若a+e=0,则代数式b+c+d= ;
(2)若a是最小的正整数,先化简,再求值:;
(3)若a+b+c+d=2,数轴上的点M表示的实数为m(m与a、b、c、d、e不同),且满足MA+MD=3,则m的范围是 .
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【题目】某学校为了解学生上学的交通方式,现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查,规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项,并根据统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请解答下列问题:
(1)在这次调查中,样本容量为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)“乘车”所对应的扇形圆心角为 °;
(4)若该学校共有2000名学生,试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数.
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【题目】已知方程的两个根是,那么,反过来,如果,那么以为两根的一元二次方程是.请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知关于x的方程+mx+n=0(n≠0),求出—个一元二次方程,使它的两根分别是已知方程两根的倒数.
(2)已知a、b满足-15a-5=0,-15b-5=0,求的值.
(3)已知a、b、c均为实数,且a+b+c=0,abc=16,求正数C的最小值
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