Question

问题，你能比较两个数2012²⁰¹³和2013²⁰¹²的大小吗？
为了解决问题，我们不妨设2012为n，则2013即为n+1，也就是比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n为正整数）．然后，我们从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想得出结论．
（1）通过计算（一定要每组都算哦！），比较下列各组中两个数的大小（填＞，＜或=）
①1²

 

2¹；②2³

 

3²；③3⁴

 

4³；④4⁵

 

5⁴…
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是：

 

；
（3）根据上面的归纳猜想得到一般结论，试比较下列两个数的大小：2012²⁰¹³

 

2013²⁰¹²．

Answer 1

考点：有理数大小比较,有理数的乘方

专题：阅读型

分析：（1）分别进行计算即可比较出大小；
（2）根据计算结果总结即可；
（3）根据（2）的结论，结合n=2012解答．

解答：解：（1）①1²＜2¹，
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²，
③∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³，
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴，
故答案为：＜＜，＞，＞．

（2）根据（1）的计算，当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
故答案为：当n≤2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n＞2时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．

（3）∵n=2012＞2，
∴2012²⁰¹³＞2013²⁰¹²．
故答案为：＞．

点评：本题考查了有理数的乘方，根据乘方的定义正确运算是准确总结出大小变化规律的关键．