Question

17．如图，在锐角△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；
（2）设EF的长为x．
①当x为何值时，矩形EFPQ为正方形？
②当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质推出即可；
（2）①根据正方形的性质可知HD=EQ=EF，令HD=EQ=EF=x；利用相似三角形的性质可得$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$，可得x的值；
②根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于EF的长的函数，根据函数的性质即可求解．

解答 （1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，∠AHF=∠ADC，
又∵AD是高，
∴∠AHF=∠ADC=90°，即AH是△AEF的高．
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$；


（2）解：①若矩形EFPQ为正方形，则HD=EQ=EF=x．
∴AH=AD-HD=8-x．
又∵$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$，BC=10，
∴$\frac{8-x}{8}=\frac{x}{10}$．
解得 $x=\frac{40}{9}$．
∴当$x=\frac{40}{9}$时，矩形EFPQ为正方形；
②∵HD=EQ，AD=8，
∴AH=AD-HD=8-EQ．
又∵$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$，EF=x，BC=10，
∴$\frac{8-EQ}{8}=\frac{x}{10}$．
∴$EQ=8-\frac{4}{5}x$．
∴S_矩形EFPQ=$EF•EQ=x（8-\frac{4}{5}x）=-\frac{4}{5}{x^2}+8x$．
∵S_矩形EFPQ=$-\frac{4}{5}{x^2}+8x=-\frac{4}{5}{（x-5）^2}+20$（0＜x＜10），
∴当x=5时，S_矩形EFPQ有最大值为20．
∴当x=5时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为20．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．